1、数值计算方法配套答案第 - 0 - 页第一章 绪论一 本章的学习要求（1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。二 本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设 为精确值， 为 的一个近似值，称 为 的绝对误xxex差。（2）相对误差： 。 rex（3）绝对误差限： 。x（4）相对误差限： 。r（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数 0,dffxfx则 。（6）一元函数的相对误差限： 。1rdff（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数 ,0,ffxyfy则 。（8）二元函数的相对误差限： 。1rfff y数值计算方法配套答案第 - 1 - 页三 本章习题解析1.
2、下列各数都是经过四舍五入得到的近似值， （1）试指出它们有几位有效数字， （2）分别估计 及 的相对误差限。123AX24X123.0,.1,85.6,.430xxx解：（1） 有 5 位有效数字， 有 2 位有效数字， 有 4 位有效数字， 有 5 位有3x 4x效数字。（2） 由题可知： 为 的近似值，1111232332,AAxxx1A分别为 近似值。,1,所以 1r1231 1AxxXX 4312313121000.25xx 同理有 为 的近似值， ， 为 ，222444,XA则 有 2Ax42x的近似值，代入相对误差限公式：x22r2421AX 33542241002. 正方形的边长
3、大约为 100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过 ?21cm解：设正方形的边长为 ，则面积为 ， ，在这里设 为边长的近似值，x2Sxdsx数值计算方法配套答案第 - 2 - 页为面积的近似值：由题可知：S 1dsx即： 推出： 。21x10.52xcm3. 测得某房间长约 =4.32m，宽约为 =3.12m，且长与宽的误差限均为 0.01m，试问房Ld间面积 S=Ld 的误差限和相对误差限分别为多少？解：设 则有： ， 。在这里 分别为 ， ， 的近似值： sldsllldS， ， lds23.1204.10.74cm相对误差限为： 。0.74.5321rS4. 下列公式如何计算才比较准确
4、：(1)当 x 的绝对值充分小时，计算 ；21xe（2）当 N 的绝对值充分大时，计算 ；21Ndx（3）当 x 的绝对值充分大时，计算 。xx解：（1）当 时， = =022211xxe41xe32xxe= 322xxx（2）当 时， = =N12NdxX1argNtarg1argttN= rt(3)当 时， =x1xx11xx数值计算方法配套答案第 - 3 - 页= 。221x5. 列 满足递推关系 =10 -1，n=1,2, ，若 = ，计算到 时误差有ynny1n 0y.410y多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值 ，近似值 ，设他们的误差为 ，则有：020.400=110101=
5、2211yy0y以此类推所以 =0099110= 11028.46. 计算 ，取 1.4，直接计算和用 来计算，哪一个最好？62-f3解：依题意构造函数 ，则 ，由绝对误差公式1fx561Ifx= =0.003072f5 16.42.0.247. 求二次方程 -16x+1=0 的较小正根，要求有 3 位有效数字。2x解：由求根公式： 。所以。 ， 对比可知：2164186x2863x较小的根为 ，由相近数相减原理则有：283x2610.627838. 如果利用四位函数表计算 ，试用不同方法计算并比较结果的误差。01cos2解： 01cos2.94.62020 4in3.091s1.9. 设 x
6、 的相对误差限为 ，求 的相对误差限。0x解：由题意可知：设 ，则有 在这里设 为 的近似值， 为1f910IfXxXf数值计算方法配套答案第 - 4 - 页的近似值，由已知 的相对误差限为 。fx所以： 91010I xf xfx 10. 已知三角形面积 S= absinc,其中 c 为弧度，满足 0c0.，scabtgtgc所以命题 成立。sc数值计算方法配套答案第 - 5 - 页第二章 插值法一 本章的学习要求（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（2）会应用插值余项求节点数。（3）会应用均差的性质。二 本章应掌握的重点公式（1）线性插值： 。101Lxlylx（2）抛物插值
7、： 。2ly（3） 次插值： 。n0nkxly（4）拉格朗日插值余项： 。11!nnnnfRfxLx（5）牛顿插值公式： 001001011,n nNXfxff x。 （6） 。0110111,n jj jnfxfx （7） 。01,!nffx（8）牛顿插值余项： 。011,nnnRxfNxfx数值计算方法配套答案第 - 6 - 页三 本章习题解析1. 给定 的一系列离散点（1，0） ， （2，5） ， （3，6） ， （4，3） ，试求,xfLagrange 插值多项试。解：设所求插值多项式为 ，且已知：3012pxXxxyyllL，代入插值基函数公0123564xyy， ， ， ， ， ，
8、 ，式：可得： = 1000203xxl 3412xx=1101213x= 2202123xl 124xx化简代入 得: px342. 若 ，求 ， 。653fx016,f 017,3f解: 由 ，所以: ! ， .由均差的性质(三)可62!62f77fx知: ，601!3,!ff 01703,!ff3. 给定函数表 ix0 1 2 3 4 5if-7 -4 5 26 65 128（1） 试用 Lagrange 插值法求一个三次插值多项式 ，并由此求 的近似值。3LX0.5f（2） 试用 Newton 插值公式求一个三次插值多项式 ，并由此求 的近似值。N解：(1) ，取 0.5 附近的 4
9、个点为宜。故取，3n数值计算方法配套答案第 - 7 - 页， 。则01274,5xyxyxy， ， ， ， 326xy，按照习题 1 求出插值基函数。代入 。301XllL 3LX可得： ，所以： 327x30.5275.8f（2）设牛顿插值多项式为 3001001201,xfffxN，1232,xx列差商表： ixiy一阶插商 二阶插商 三阶插商0 -71 -4 32 5 9 33 26 21 6 1所以： =-5.8757301012NXxxx37x4. 设 为互异节点（j=0,1,2,n）求证： ， =0,1,2, 其中jx 0nkkjjln为 次插值基函数。jln证明：根据题意：设 ，
10、所以有 ，kfxkjjjfyx结合上式所以有： = ，000nnnkj jjjjjfyllnjxL由余项定理可知： ，njjnfLR且由定理二可知，当 时， 所以就有 。jjxkjnjjfxx在这里令变量 ，所以命题： ，成立。jx0nkkjjl5. 设 且 ，求证：2,fcabffb。21mxmax8Iab bf f数值计算方法配套答案第 - 8 - 页证明：由题可知： ， ，故可构造线性插值多项式即为下式：0,xay1,0xby，记为（1）式，1XffllL因为 ，记为（ 2）式，其中 ，记为11fxxR12!IfRxaxb（3）式，将（1） （3）代入（2）整理： 11 1bfXffLR
11、!Ixabf所以： 这里取 代2!Iffxab2!maxIbf2abx入，可推出： 再放缩得!4Iff21maxax8Ib bf f6. 若 有 个不同实零点 证明：110nnfn12,nx110,2knjIj nkfx证明：由题可知： 有 个不同实零点，故 还可以表示成根形式的多项式，即：f fx；12n nfxaxx由导数的定义可知： limjI jxffj1211lj jnjjnxxjfxxa=在1211njjjjjjjn 此设： ；kx11111knn jjIj jjj jjnxaxf 数值计算方法配套答案第 - 9 - 页，记为（1）式12,!nnnxa当 时， ，则（1）变为 ；1
12、kn1!nx x当 ，则（1）式变为 0，02综上所述： 1,2knjIj naf7. 给定函数表 ix-2 -1 0 1 2 3jf-5 1 1 1 7 25已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法： +0101201,NXfxfxfxx，12345 34,列插商表： ixif一阶插商 二阶插商 三阶插商 四阶插商 五阶插商-2 -5-1 1 60 1 0 -31 1 0 0 12 7 6 3 1 03 25 18 6 1 0 0，为三次。 356(2)3()1(2)()1NXxxxx8. 对函数 ， 及任意常数 a,b,证明：fg。010101,n
13、nnafxbxafxbgx证明：由高等数学的知识，我们构造函数 ，于是就有下式成立：FXafx01,nfxgx01,nx0111jjjj jjnx 数值计算方法配套答案第 - 10 - 页0111n jjjjj jjnafbgxxx 由分式法则： 0 0111 111n nj jj jjj jjjj jjnfa bx x = ，所以命题成立。10,nnfbgx10. 给定函数表 ix0.0 0.2 0.4 0.6 0.8if1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554试分别用 Newton 前插值公式和 Newton 后插值公式计算 的近似值。0.5f分析：基
14、于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，分别代入 Newton 前插值公式和 Newton 后插值公式可得=1.05126.0.5f11. 若要给出 ， 的一张按等距步长 h 分布的函数表，并按线性插值cosfx0,2计算任何 的 的值。问当 h 取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过0,2x。412分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出 。0.2h12. 设 ，采用 Lagrange 插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项2,nfxcab。22211!nnn
15、fRfHxx分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理 2 代入余项公式即可求得，在此不做说明。13. 求不超过 3 次的多项式 ，使其满足 。x19151I IHH， ， ，分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为： ，代入条件，即可23013xaxa求得： 。324Hxx数值计算方法配套答案第 - 11 - 页14. 求不超过 4 次的多项式 ，使其满足 ，PX001I IPP，。21P分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果
16、，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析 ，23401xpaxax代入条件，即可求得： 。21x34p15. 给定函数表 ix0 1 2 3if0 0.5 2 1.5（1） 在边界条件 ， 下求三次样条插值函数 ；.2If31IfSX（2） 在边界条件 ， 下求三次样条插值函数 。0I .I分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。结果为：（1） 3232.480.1.,011.058.5,262.6. 3xxsx x（2） 32,1.310.,15452xxsx x数值计算方法配套答案第
17、 - 12 - 页第三章 函数逼近及最小二乘法一 本章的学习要求（1）会用最小二乘法求拟合曲线。（2）会将非线性函数转化成线性函数。二 本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式：， ，00,niiiit01001,niiiit，11iiii， 。00,niiifyt110,niiifyt三 本章习题解析1. 设 是区间0,1上带权 的最高项系数为 1 的正交011,nxx x数值计算方法配套答案第 - 13 - 页多项式序列，其中 =1，求 及 和 。0x10kxd1x2分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为： ；
18、101,0kkxd； 。123x263510x2. 判断函数 =1， =x,， ，在 上带权 正交，并求02213x,1x使其在-1 ，1上带权 与 ， ， 正交。3x01x2分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为： 。353. 证明：若函数组 是在a,b上带权 正交的函数组，则011,nxx x必然是线性无关的函数组。011,nx分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。4. 已知点列 ， ， ， ， 及权函数 ，02x120x3142x0.5x， ，利
19、用公式（47）和（48）构造对应的正交13.5多项式 012,pxpx。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为： ， ，01xp25x。2426151pxx5. 已知数据表i 0 1 2 3 4iy1.00 3.85 6.50 9.35 12.05求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为： ，这里 ， ， ，01yax4m1n0x数值计算方法配套答案第 - 14 - 页，1x， ，40, 05iiiix40,1,0010iiiix， ，1, 13iiii 4, 32.75iiify，所以可得到以下方
20、程组：41, 109.iiify 01.9a解得： ， ，所以所求方程为 。 .3a12.761.03276yx6. 已知数据表 ix1 2 3 4 5 6 7 8iy3 3 4 5 5 6 6 7求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为： ，这里 ， ， ，01yax7m1n0x，1x， ，70, 08iiii70,1,00136iiii， ，1, 125iiiix7, 4iiifyx，所以可得到以下方程组：71, 106iiify 018,36256a解得： ， ，所以所求方程为： 。2.a.95.9yx7. 某发射源的发射强度公式为 ，现测得 与 的一组数据如下表0tIeIt
21、it0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8iI3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56试用最小二乘法根据以上数据确定参数 和 的值。0I解：先将 线性化，即两边取以 10 为底的对数，变为 ，0tIe 0Ilgleax设 ， ， ，所以上式变为 。这里 ，Ilgy0IA1lgea01yxA7m， ， ，代入公式得： ，1n0xx7, 08iiii数值计算方法配套答案第 - 15 - 页，70,1,0013.5iiiix71, 102.03iiiix， ， ，70, 0.86iiify71, 10.86iiify所以可得到以下方程组 ，解得： ，01,
22、35.863.22A0.7A，相应的 。10.468A064,.9Ia8. 试用最小二乘法根据以下数据表 ix1.00 1.25 1.50 1.75 2.00iy5.10 5.79 6.53 7.45 8.46求 的最小二乘拟合曲线。bxae解：先将 线性化，即两边取以 10 为底的对数，变为 ，设y lglyebx，lg， ，所以原式变为： 。这里 ， ，0A1lgeb01yAx4m1n，x，代入公式得 ，140, 05iiii， ，40,1,017.iiiix 41, 101.875iiiix， ，4, 3.iiify ,0.27iiify所以可以得到以下方程组： ，解得： ，15.3.7
23、,85A03.8A，代回求得， , ,故方程为 。1.972A3.0a.6b.5671xye9. 用最小二乘法求形如 的经验公式，使它拟合以下数据。2yxix19 25 31 38 44iy19.0 32.3 49.0 73.3 97.8解：先将 线性化，设 ，则原式变为 ，这里 ， ，2abx2XxyabX4m1n数值计算方法配套答案第 - 16 - 页， ，代入公式得 ，01xx40, 05iiiix， ，4,0015327iiii 41, 17269iiii， ，40, .iiify4,03.iiii所以可以得到以下方程组： ，, 27.53276915ab解得： ， ，所求方程为： 。
24、0.54a0.8b 20.98.04yx第四章 数值积分和数值微分一 本章的学习要求（1）会求各种插值型求积公式。（2）会应用求积公式分析代数精度。（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。二 本章应掌握的重点公式数值计算方法配套答案第 - 17 - 页（1）梯形公式： 。2baafxdfb（2）辛甫生公式： 。462ba affffb（3）复化梯形公式： 。12nnkkhfffxT（4）复化辛甫生公式： 。11204nnnkkkKfafffbS （5）梯形公式的误差余项： 。32ITRxba,（6）复化梯形公式的误差余项： 。21Ihf,
25、ab三 本章习题解析1. 用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算下列积分。（1） 取 ； (2) ，取20,4xd8n2604sinxd6解：（1）代入复化梯形公式可得 =0.1114024，781kffT(2)代入梯复化形公式可得： =1.03562，56612kffxf同理，分别代入复化 Simpson 公式可得： ， 。80.724S61.0357S2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具有的代数精度。（1） 0120hfxdfhffhA（2） 0 x（3） 0122hfxfff（4） hdh解：（1）设 ， ， ，求积公式准确成立，代入
26、（1）式可得：fx2x数值计算方法配套答案第 - 18 - 页0123022hhA解得： ， 143Ah，代入原式整理得： ，41033hfxdfhffh对于 ，代入上式验证，左边=右边，继续令 ，代入上式验证，3fx 4x左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。（2）设 ， ， ，求积公式准确成立，代入（2）式可得：1fxx 012213xA解得： ， 0211632Ax， ，代入原式整理得： ，0 1036fdfff对于 ，代入上式验证，左边=右边，继续令 ，代入上式验证，3fx 4fx左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。（3）设 ， ， ，求积公式准确成立，代
27、入（3）式可得：1f201230246hAh解得： 021843Ah， ，代入原式整理得： ，1284833hfxdfhfxhf对于 ，代入上式验证，左边=右边，继续令 ，代入上式验证，3fx 4左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。（4） 设 ， ，求积公式准确成立，代入（ 4）式可得1f 012hAx数值计算方法配套答案第 - 19 - 页解得： 101233hxAh， ， ，代入原式整理得： ，32h hfxdff 对于 ，代入上式验证，左边=右边。继续令 ，代入上式验证，2fx3fx左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。3. 证明： 具有 3 次代数精度。1
28、0 1002IIfdfff证明：当 时，x左边=1， ，左边=右边。1=12右 边当 时，fx， ，左边=右边。左 边 102右 边当 时，2fx， ，左边=右边。左 边 =31103右 边当 时，fx， ，左边=右边。1左 边 4右 边当 时，fx， ， 。左 边 5右 边 6左 边 右 边故所求积公式具有 3 次代数精度。4. 用复化 Simpson 公式 计算积分 ，要使误差不超过 ，问应将区间nS20sinxd 5102分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间 分0,2 ,2为多少等份？解：复化 Simpson 公式的余项的绝对值为： 由此可将原问题转41802sb
29、ahRff数值计算方法配套答案第 - 20 - 页化为 解得： 。4022sin18maxsfR549160526n同理若应用复化梯形公式，则有 ItbaffhR20sin1maxo解得： 。512025n5. 求积公式 ，已知其余项表达式为0120IfxdfffA。试确定求积公式中的待定参数 ， ， ，使其代数精度尽IRfkA12量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。解：设 ， ， 求积公式准确成立，代入原式可得：1fx2x 012123解得： ， ， ，023A126所以原式变为： ，1003Ifxdfff当 时，代入原式，左边= ，右边= ，左边 右边，3fx43由题意知误差
30、为 且 ，所以求得 ，14Ikf!6I172k即 为所求，上式求积公式具有 3 次代数精度。72IRff6. 若用复化 Simpson 公式计算 ，要使误差不超过 ，问需要计算多少个节31sinxed610点上的函数值？解： ，4sinIxfe在这里取复化 Simpson 公式余项的绝对值 ，41802sbahRff代入已知条件得： ，4312in80sRfe进行放缩得： ，解得： 。4613maxsi10sfn 26n7. 推导下列三种矩形求积公式，其中 ,b数值计算方法配套答案第 - 21 - 页（1） 212b Iafxdaffba（2） I（3） 3124b Iafxdaffba证明：
31、（1）将 在 处展开成一阶泰勒公式，即：ffIfxaxa上式两边在 积分，得： ,bbbbIaaafxdfxfxd= ，Ia这里我们应用广义积分中值定理：， ，bbaafxgdfxd,ab于是上式中第二项就化简为如下形式： ，bI Ia afxdfxd，,b积分整理得到： 。212b Iafxdffb（2）将 在 处展开成一阶泰勒公式，即：f Ixffxb上式两边在 积分，得：,bbbbIaaafxfdd= ，Ifx上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：。212b Iafxdafbfa（3）将 在 处展开成二阶泰勒公式，即：ff， 222!II fabababfxfxx上式两边在 积
32、分得： , 2222Ibbb bIaaa afbfxdfdxfxdxd！数值计算方法配套答案第 - 22 - 页，由广义积分中值定理 ， ，bbaafxgdfxd,ab代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：。3124b Ia bfxdffb8. 对积分 构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。30f解：将 三等分，即取节点 0，1，2，3.构造求积公式：,，令 =1， ， ， 求积公 30 30fxdffffAA fx23x式准确成立，代入公式得： 解得：01231239274938070123898A所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：。30901288fxdffff9
33、. 用高斯-勒让德求积公式，取 n=2 计算定积分 。120xed分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入高斯勒让德求积公式： 即可0nbKkakQxA求出： 。120.71948xed10. 用龙贝格求积公式计算定积分 。30dx解：代入复化梯形递推化公式，求得： ，1432fT， ，2134.5fT 914ff，84915257883ffff 数值计算方法配套答案第 - 23 - 页， ， ，211439ST4221537ST8441935ST， ，676505C。121.0186482R11. 若 ，证明用梯形公式计算积分 所
34、得的结果比准确值大，并说明Ifxbafxd其几何意义。证明：已知梯形公式为 ，nTIRf由已知 及余项公式 ，也就是 即0Ifx3012ITff0nI造成结果比准确值大。n几何意义：由 可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。 0Ifx数值计算方法配套答案第 - 24 - 页第五章 常微分方程的数值解法一 本章的学习要求（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。（2）掌握龙格库塔方法。二 本章应掌握的重点公式（1）欧拉公式： 。1,nnhfyyx（2）后退的欧拉公式： 。1,n（3）梯形公式： 。11 ,2nn nff 三 本章习题解析1. 对初值问题 ，在 区间内取步长 ，分别用欧拉公
35、式、改进的欧01Iy,0.1h拉公式及经典的四阶 Runge-Kutta 公式作数值计算。解：（1）由欧拉公式可知： = 。1,nnfyx .nny.9n（2）由改进的欧拉公式可知： 11,2pncpnchfy将已知代入化简可得：， ，0.1.9pnnny091cnpny= 。1.9.205（3）由经典的四阶 Runge-Kutta 公式可知： 1213243,nnfhfkxy数值计算方法配套答案第 - 25 - 页公式为： 记为（1） ，所以有： ，112346nhykk1nky， ，20.5k30.5.nnnyy，4.nny代入到（1）得： 。1.790.4837560nyy2. 用欧拉公
36、式解初值问题 ，证明其整体截断误差为 。daxby21nahx证明：将已知代入欧拉公式 ，化简为 ，1,nnf1nnby展开得： ，应用递推关系可得： ，1nhabx 1ha以此类推： ， ， ，23y12habyx01x然后迭代得： ，()nn由题可知，对原定解问题积分得： ，故可得 ，2yxx2nnyxabh所以有 成立。21nyahx3. 用欧拉公式计算积分 在 ，1，1.5，2 点的近似值。0xtde.5解：设 ，则 ，且 ，故原问题转化为 的20xtf2Ixf0f20Ixfe定解条件在 ， ， ， ， 时的定解问题。01.5231.542由欧拉公式 ，可知： ，,nnfy05ye=1
37、.142， =2.501，12.5.e4432.=7.245。9494300.5.4. 用欧拉公式计算初值问题 ， ，取步长 时，计算结果稳1Iy2X0.3h定吗？解： ，所以计算结果不稳定。10,.3,20hh不 在 内数值计算方法配套答案第 - 26 - 页5. 对初值问题 ，证明梯形公式求得的近似解为 ，并证明当步长01Iy 2nnhy时， 。0hnxne证明：由梯形公式： ，1,1,2nnnhffx代入 化简可得： ，Iy1yy合并同类项，整理可得： ，12nnh化简得： ，2112nnnhyy10ny由已知 ，于是上式化为 ，即 成立。011nnh2nn由极限定义： 022lim00
38、0022limlilimlim1,hnhnn nnhhhhy e， 。nx由 代 入 0li2hnxe所 以 原 式6. 对初值问题 ，如果取 ，证明欧拉公式求得的近似解为 。10Iy110nny证明：由欧拉公式： ，将已知代入可得：1,nnyfxy 1nn，迭代可得： ，同理，以此类推得：0n210n，由 有 即 。110nny0y11nn 0ny8. 取步长 ，试用经典的四阶龙格库塔公式求初值问题 的 ，.2h 1Ixy.2的近似值。0.4y数值计算方法配套答案第 - 27 - 页解： ，其中 ，123416nhyk1,nnfykx，2, 0.nnf yxx322，将 ， ， ， ，代入原
39、433, .nnfhkkk123k4式：，16.740.7420.0n nnyyyxx 取节点： ， ， ，于是有：12，100.9883。12647641539yyx10. 解初值问题 ， ，若用梯形公式求解，要使迭代公式I2x收敛，求步长 的取值范围。(0)1()(1) 1,2nn kknhfyy h分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为： 。16h11. 证明初值问题 ，0,Ifxy1111432nnnnyff的 二 步 法是二阶的，并求其局部截断误差项。,iif证明：将 在 处进行三阶泰勒公式展开得：
40、，1ny 2341!IInnhoyh同理将 ， ，也在 处进行泰勒公式展开，由于原式第二项前有 ，故1nfny， 只需展开成二阶泰勒公式即可，即：， ，231!IIInnhofy231!IIInnhoyf数值计算方法配套答案第 - 28 - 页，将以上四式代回原方程得：Infy 2341194IIInnhonyh 1现将 在 处进行三阶泰勒公式展开：1n 2341!IInn 2现将 与 进行比较可知： ，故原式是二阶的，局部截断误差为 1 2 19246，局部截断误差的首项为 。34946Inoyh 345Inoyh 31524Inhy12. 证明：线性二步法 ，当11113nnnnbbbff时方法是二阶的，当 时方法是三阶的。1b证明：原式变形为 ，记为（1）式，1114nnnnh将 ， ， 在 处分别展开成三阶，二阶，二阶泰勒公式，即：1nyfy， ，234!IIInnho231!IIInnnhofy，将上面三式代入（1）式化简可得：31IIInf，记为（ 2）式，2 4!IIInnbhyy再将 在 处展开成三阶泰勒公式，1，记为（3）式，将（ 2）式与（3）式对比，234!IIInnnho要想具有三阶精度则： ，即 ，当 时， ，具有二16bb116b阶精度。13. 求系数 a,b,c,d 使公式 有 。111nnnahcdyff51nyoxh解
