1、第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，则 （ ）224,log1MxNxMNA B C D2,0,2,22. 已知是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）z1izA B C D12i212i3. 对于非零向量 ，下列四个条件中使 成立的充分条件是（ ）,ababA B C D 且a:3abab:b4. 已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示,正视图是边长为 的正三角形, 俯视图是2边长为 的正六边形,则该几何体的侧视图的面积为（ ）aA B C D2323a23a23a5. 已知
2、直线与圆 相交于 两点.若弦 的中点为抛物线2410xy,AB24xy的焦点，则直线的方程为（ ）A B230xy10xyC D16. 如图所示的程序框图，若输入的 、 分别 、 则输出的数为（ ）ak892A B 20 10C D1 27. 已知 ，其导函数 的图象如图sin0,fxAxfx所示,则 的值为（ ）A B C D22338. 如图，正方形 的边长为，记曲线 和直线 所围成的图形OABC2yx1,04yx（阴影部分）为 ，若向正方形 内任意投一点 M ，则点 M 落在区域 内的概率为（ ）A B C 141323D 259. 如图，正方形 的顶点 顶点 位于第一象限，直ACD20
3、,0B,D线 将正方形 分成两部分，记位于直线左侧阴影部分面积为:02lxt，则函数f的图象大致为 （ ）stA B C D10. 已知点 在同一个球面上， ， ，若四面体 体,CD3,4,5ABCABCD积的最大值为 ，则这个球的表面积是（ ）10A B C 2541254216D 6111. 设 分别为双曲线 的左右顶点，若双曲线上存在点2, 2:10,xyCab使得两直线斜率 ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）M12MAkCA B C 1,2,33,D12. 设函数 为自然对数的底数）.若曲线 上存在 (,xfeaResinyx使得 ， ，则 的取值范围是（ ）0,xy0yA B C
4、 1e1,e1,eD ,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. “五一 ”黄金周将至，小明一家 口决定外出游玩，购买的车票分布如下图：窗口 排 座 排 座 排 座 走廊 排 座 排 座 窗口6AB6C6D6E其中爷爷喜欢走动，需要坐靠近走廊的位置；妈妈需照顾妹妹，两人必须坐在一起，则座位的安排方式一共有 种 14. 已知不等式组 所表示的平面区域为 ，若直线 与平面区域 有10xy 3ykxD公共点，则 的取值范围为是 k15. 给出下列四个结论：（1 ）如果 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数是 ；321nx12831x21（2
5、） 用相关指数 来刻画回归效果， 的值越大，说明模型的拟合效果越差；R2R（3 ）若 是定义在 上的奇函数，且满足 ，则函数 的图像fx fxff关于 对称；1（4 ）已知随机变量 服从正态分布 ，则 ；21,4079NP20.1P其中正确结论的序号为 16.已知在海岛 上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站 ，上午 时，测得一轮A船在岛北偏东 ，俯角为 的 处，到 时 分又测得该船在岛北偏西 ，俯角为30B1060的 处小船沿 BC 行驶一段时间后，船到达海岛的正西方向的 处，此时船距岛6C D有 千米 .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤.） 17. （本小题满分 12 分）正项数列 的前 项和 满足 nanS.2210nnSS（1）求数列 的通项公式； a（2）设 ，数列 的前 项和 ，证明：对于任意的 ，都有2nnbnbnTnN.564nT18. （本小题满分 12 分）2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策。为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 后和 后作为调查对象，随机调查了 70810位，得到数据如下表：生二胎 不生二胎 合计后70301545后8450合计 7210（1）以这 个人的样本数据估计该市的总体数据 ,且以频率估计概率，若从该市 0 70后公民中随机抽取 位,记其中生二胎的人
7、数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望。3XX（2）根据调查数据，是否有 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由：09参考数据： 2PKk0.15.50.250.010 0.0052.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879（参考公式： ，其中 ）22nadbcKdnabcd19. （本小题满分 12 分） ）如图，已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在ABCDABPE平面于直线 且 ，且 .,AB2,1,PEE:（1）设点 为棱 中点，求证： 平面 ；MDM:（2）线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值等于 ？NBPC25若存在，试确定点
8、的位置；若不存在，请说明理由 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为2:10xyCab2为2,0坐标原点.（1 ）求 的方程； C（2 ）过 作两条相互垂直的射线，与椭圆 分别交于 两点，求证：点 到直OC,MNO线 的距离为定值，并求弦 长度的最小值.MNMN21. （本小题满分 12 分）已知函数 .22lnfxxa:（1）当 时，求 在 处的切线方程；afx1,（2）设函数 .2g若函数 有且仅有一个零点时，求 的值； xa在的条件下，若 ，求 的取值范围 2,exgm请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题
9、满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已知 点在 直径 的延长线上， 切 于 点， 是 的DO:BCDAO:DEAB平分线，交 于 点，交 于 点.AFAE（1）求证： ；E（2）若 ，求 的值.B23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线的极坐标方程为 ，以极点为原点2sin4mR极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 x C为参数，且 ).3cos(inxy0,（1）写出直线的直角坐标方程和曲线 的普通方程；C（2）若直线与曲线 有两个公共点，求 的取值范围. Cm24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已
10、知函数 ,若不等式 的解集为 .2fx1fx12x（1）求的 值；m（2）已知 为正数，且 ，证明： .,abcabc13fabc理科数学参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-5.CBCDB 6-10.ABACD 11-12.BA二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. 千米16,3,931三、解答题17.解：（1）由 ，得 ，2210nnSS210nnSS由于 是正项数列，所以 ,所以 .na2n当 时， ；212n当 时， 适合上式,1Sna（2）由 ，得 .na22 221164nnbn:则 22222211.634351nT .222 2
11、5641n18. 解：（1）由已知得 后“生二胎”的概率为 ，并且 ，70323,XB:所以 ,3321,2kkPXkC其分布列如下 x0 3P1272949827（每算对一个结果给分）所以， .3EX（2）22nadbcKd210345172,103.706所以有 以上的把握认为“ 生二胎与年龄有关”.09则 ，所以 .10,2,2,0,1PDMEC 1,02EM易知平面 的一个法向量等于 ，所以 ，ABC,n ,n:所以 ，En又 平面 ，所以 平面 .MDEM:ABCD（2）当点 与点 重合时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .NNP25理由如下：因为 ，设平面 的法向量为 ，,21,0
12、PCC11,nxyz由 ，得 ，10nD:1xyz即 ，得平面 的一个法向量等于 ，1y10,2n假设线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角 的正弦值等于 .PNBPCD25设 ，01ND则 .2,.,2,2,N所以 11sinco,Bn:.222559845:所以 ，解得 或 (舍去)98101因此，线段 上存在一点 ，当 点与 点重合时，直线 与平面 所成角的正PDNDBNPCD弦值等于 .2520. 解：（1）由 ,所以椭圆 的方程为 .2,1,2cbaa21xy（2）设 ，12,MxyN当直线 的斜率不存在时，有 ，由 得 ,122,xy21xy163x即点 到直线 的距离为 .ON63当直线 的斜率不存在时， 设直线 的方程为 ,与椭圆 的方程MMNykxmC联立消去 得 21xyy，2240kmx所以 ，21212,kxk，即 ,1212,0OMNxykm2 21210xkmx，整理得 ,224k23所以点 到直线 的距离为 ,ON261dk，当且仅当 时取“=” ，2,MMON:OMN由 得 ，d:2d:
