1、2015-2016 学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分）已知集合 A=1，2，4，B=y|y=log 2x，xA，则 AB=（ ）A0，1，2 B1，2 C0，1，2，4 D0，1，42 （5 分）若复数 z=（2i）i 的虚部是（ ）A1 B2i C2 D23 （5 分） “a=1”是“函数 f（x）=|xa|在区间2，+ ）上为增函数 ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）已知函数 f（x）= ，
2、则 f（4）的值为（ ）A4 B5 C6 D75 （5 分）下列说法错误的是（ ）A命题“若 x25x+6=0，则 x=2”的逆否命题是“若 x2，则 x25x+60”B已知命题 p 和 q，若 pq 为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假C若 x，yR，则“ x=y”是“xy ”的充要条件D若命题 p：x 0R，x 02+x0+10，则p：xR，x 2+x+106 （5 分）直线 y=kx+1 与曲线 y=ax3+x+b 相切于点（1，5） ，则 ab=（ ）A2 B0 C2 D67 （5 分）在ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 中点， ，则+ 的值为（ ）A B C
3、 D18 （5 分）已知点 A（3， ） ，O 是坐标原点，点 P（x ，y）的坐标满足 ，在 上的投影的最大值为（ ）A B3 C2 D69 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A B1 C D210 （5 分）已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（ ）A3 B4 C D11 （5 分）设 f（x）是连续的偶函数，且当 x0 时 f（ x）是单调函数，则满足的所有 x 之和为（ ）A3 B3 C 8 D812 （5 分）已知函数 f（x） = （a 为常数） ，对于下列结论函数 f（x）的最大值为 2；当 a0 时，函数 f（x）在 R
4、 上是单调函数；当 a0 时，对一切非零实数 x，xf （x）0（这里 f（x）是 f（x）的导函数） ；当 a0 时，方程 ff（x）=1 有三个不等实根其中正确的结论是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13 （5 分）已知a n为等差数列，若 a1+a5+a9=8，则 cos（a 3+a7）的值为 14 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+2y=1，则 的最小值为 15 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1 中侧棱垂直于底面，ACB=90，BAC=30 ，BC=1 ，且三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为
5、3，则三棱柱 ABCA1B1C1 的外接球的表面积为 16 （5 分）已知函数 y=f（x）为奇函数，且对定义域内的任意 x 都有 f（1+x）=f（1x） 当 x（2，3）时， f（x）=log 2（x 1） ，给出以下 4 个结论：函数 y=f（x）的图象关于点（k，0） （kZ）成中心对称；函数 y=|f（x）|是以 2 为周期的周期函数；当 x（1， 0）时，f（x）=log 2（1x） ；函数 y=f（|x|）在（k，k+1） （ kZ）上单调递增其中所有正确结论的序号为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （10 分）某高中
6、有高一、高二、高三共三个学年，根据学生的综合测评分数分为学优生和非学优生两类，某月三个学年的学优生和非学优生的人数如表所示（单位：人） ，若用分层抽样的方法从三个学年中抽取 50 人，则高一共有 10 人高一学年 高二学年 高三学年学优生 100 150 z非学优生 300 450 600（1）求 z 的值；（2）用随机抽样的方法从高二学年学优生中抽取 8 人，经检测他们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这 8 人的得分看作一个总体，从中任取一个分数 a记这 8 人的得分的平均数为 ，定义事件 E=|a |0.5，且 f（x）=ax 2ax+2.31
7、没有零点，求事件 E 发生的概率18 （12 分）已知向量 =（cos ，1） ， =（ sin ，cos 2 ） ，设函数 f（x）= +1（1）求函数 f（x）的单调递增区间；（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且满足a2+b2=6abcosC，sin 2C=2sinAsinB，求 f（C）的值19 （12 分）已知公差不为零的等差数列a n，等比数列b n，满足b1=a1+1=2，b 2=a2+1，b 3=a4+1（）求数列a n、b n的通项公式；（）若 cn=anbn，求数列 cn的前 n 项和20 （12 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=
8、BC，点 D 是 AB 的中点（1）求证：BC 1平面 CA1D；（2）求证：平面 CA1D平面 AA1B1B；（3）若底面 ABC 为边长为 2 的正三角形，BB 1= ，求三棱锥 B1A1DC 的体积21 （12 分）已知函数 f（x）对任意实数 x 均有 f（x）=kf （x+2） ，其中常数 k 为负数，且f（x）在区间0，2有表达式 f（x）=x（x2）（I）求出 f（1） ，f（2.5）的值；（）若函数 f（x）在区间 2，2的最大值与最小值分别为 m，n，且 mn=3，求 k 的值22 （12 分）已知 f（x）=xlnx（）求函数 f（x）在定义域上的最小值；（）求函数 f（x
9、）在t，t+2（t0）上的最小值；（）证明：对一切 x（0， +） ，都有 lnx 成立2015-2016 学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1 （5 分） （2014 郊区校级三模）已知集合 A=1，2，4，B=y|y=log 2x，xA，则AB=（ ）A0，1，2 B1，2 C0，1，2，4 D0，1，4【分析】求出 B 中 y 的范围确定出 B，找出 A 与 B 的并集即可【解答】解：由 y=log2x，xA=1，2，4，得到 y=0，1，2
10、，即 B=0，1，2，则 AB=0，1，2，4故选：C【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2014 怀化三模）若复数 z=（2 i）i 的虚部是（ ）A1 B2i C2 D2【分析】由复数的运算法则知复数 z=（2i ）i=1+2i，由此能求出复数 z=（2i ）i 的虚部【解答】解：复数 z=（2i）i=2ii2=1+2i，复数 z=（2 i）i 的虚部是 2故选 C【点评】本题考查复数的基本概念的运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答3 （5 分） （2014 南昌模拟） “a=1”是“函数 f（x）=|xa |在区间2，+）上为增函数”
11、的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】函数 f（x）=|x a|的图象是关于 x=a 对称的折线，在a，+）上为增函数，由题意2，+）a，+） ，可求 a 的范围，由充要条件的定义可得答案【解答】解：若“a=1” ，则函数 f（x）=|xa |=|x1|在区间1，+）上为增函数，当然满足在区间2，+）上为增函数；而若 f（x）= |xa|在区间2，+）上为增函数，则 a2，所以“ a=1”是“函数 f（x）=|xa|在区间2，+ ）上为增函数 ”的充分不必要条件，故选 A【点评】本题考查充要条件的判断和已知函数单调性求参数范围问题，对函数 f（x）
12、=|xa|的图象的熟练掌握是解决问题的关键，属基础题4 （5 分） （2014 怀化三模）已知函数 f（x）= ，则 f（4）的值为（ ）A4 B5 C6 D7【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论【解答】解：由分段函数可得 f（4）=f（3）+1=f（2）+2=f（1）+3=f（0）+4，f（0）=log 24=2，f（0）+4=2 +4=6，故选：C【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接求解即可，注意变量的取值范围5 （5 分） （2014 湖北模拟）下列说法错误的是（ ）A命题“若 x25x+6=0，则 x=2”的逆否命题是“若 x2，则 x25x+60”B
13、已知命题 p 和 q，若 pq 为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假C若 x，yR，则“ x=y”是“xy ”的充要条件D若命题 p：x 0R，x 02+x0+10，则p：xR，x 2+x+10【分析】由四种命题及关系判断 A；根据复合命题 pq 的真假，可判断 B；由充分必要条件的定义来判断 C；由存在性命题的否定是全称性命题，可判断 D【解答】解：A由“若 p 则 q”的逆否命题是“若q 则p” ，得 A 正确；B已知命题 p 和 q，若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题，若 pq 为真命题，则 p，q中至少一个为真命题，故 B 不正确；C若 x，yR，则“ x=y”可推出“x
14、y ”，又“xy ”可推出“x2+y22xy0”即“（x y） 20”即“x=y” ，故 C 正确；D由命题的否定方法得 D 正确故选：B【点评】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，复合命题的真假性，充分必要条件和命题的否定的形式，应注意与否命题的区别，是一道基础题6 （5 分） （2014 永州三模）直线 y=kx+1 与曲线 y=ax3+x+b 相切于点（1，5） ，则 ab=（ ）A2 B0 C2 D6【分析】先根据曲线 y=ax3+x+b 过点（1，5）得出 a、b 的关系式，再根据切线过点（1，5）求出 k，然后求出 x=1 处的导数并求出 a，从而得到 b，即可得到 ab
15、的值【解答】解：y=ax 3+x+b 过点（1，5） ，a+b=4，直线 y=kx+1 过点（1，5） ，k+1=5，即 k=4，又y=3ax 2+1，k=y| x=1=3a+1=4，即 a=1，b=4a=41=3，ab=13=2故选：A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7 （5 分） （2016 郴州三模）在ABC 中，M 为边 BC 上任意一点，N 为 AM 中点，则 + 的值为（ ）A B C D1【分析】设 ，将向量 用向量 、 表示出来，即可找到 和 的关系，最终得到答案【解答】解：设则 = =（ ）故选 A【
16、点评】本题主要考查平面向量的基本定理，即平面内任一向量都可由两不共线的向量唯一表示出来属中档题8 （5 分） （2014 郊区校级三模）已知点 A（3， ） ，O 是坐标原点，点 P（x，y）的坐标满足 ， 在 上的投影的最大值为（ ）A B3 C2 D6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算 z 的表达式，利用数形结合即可得到结论【解答】解：设 z 表示向量 在 方向上的投影，z= = = ，即 y= ，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线 y= ，当 y= 经过点 B 时直线 y= 的截距最大，此时 z 最大，当 y= 经过点 C（ 2，0）时，直线的截距最小，此时
17、 z 最小此时 2z= +y，zmin= ，由 ，得 ，即 B（1， ） ，此时最大值 z= ，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键9 （5 分） （2016 衡水模拟）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A B1 C D2【分析】由已知中三视图，我们可以判断出几何体的形状及几何特征，求出其底面面积、高等关键几何量后，代入棱锥体积公式，即可得到答案【解答】解：由已知易得该几何体是一个以正视图为底面，以 1 为高的四棱锥由于正视图是一个上底为 1，下底为 2，高为 1 的直角梯形故棱锥的底面面积 S= =则 V= = =
18、故选 A【点评】本题考查的知识点是由三视图由面积、体积，其中根据已知中的三视图，确定出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键10 （5 分） （2010 重庆）已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是（ ）A3 B4 C D【分析】首先分析题目由已知 x0，y0，x+2y+2xy=8，求 x+2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用 代入已知条件，化简为函数求最值【解答】解：考察基本不等式 ，整理得（x+2y） 2+4（x+2y）320即（x+2y4） （ x+2y+8）0，又 x+2y0，所以 x+2y4故选 B【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式 在
19、求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意11 （5 分） （2008 辽宁）设 f（x）是连续的偶函数，且当 x0 时 f（x）是单调函数，则满足 的所有 x 之和为（ ）A3 B3 C 8 D8【分析】f（x）为偶函数 f（x）=f（x） ，x0 时 f（x）是单调函数f （x）不是周期函数所以若 f（a）=f（b）则 a=b 或 a=b【解答】解：f（x）为偶函数，且当 x0 时 f（x）是单调函数若 时，必有 或 ，整理得 x2+3x3=0 或 x2+5x+3=0，所以 x1+x2=3 或 x3+x4=5满足 的所有 x 之和为 3+（5）=8，故选 C【点评】本题属于函数
20、性质的综合应用，解决此类题型要注意：（1）变换自变量与函数值的关系：奇偶性：f（x）=f（x）增函数 x1x 2f（x 1）f（x 2） ；减函数 x1x 2f（x 1）f （x 2） （2）培养数形结合的思想方法12 （5 分） （2014 郊区校级三模）已知函数 f（x）= （a 为常数） ，对于下列结论函数 f（x）的最大值为 2；当 a0 时，函数 f（x）在 R 上是单调函数；当 a0 时，对一切非零实数 x，xf （x）0（这里 f（x）是 f（x）的导函数） ；当 a0 时，方程 ff（x）=1 有三个不等实根其中正确的结论是（ ）A B C D【分析】画出函数 f（x）的图象，通过图象观察得到，通过 a0，a 0 即可判断；通过 a0 的图象，即可判断 ；通过 a0 的图象，结合单调性与导数的关系，即可判断；通过 a0 的图象运用换元法，即可解出方程，从而判断【解答】解：画出函数 f（x）的图象，通过图象观察得到：当 a0 时，函数 f（x）的最大值为 2，当 a0 时，无最大值故错；当 a0 时，函数 f（x）在 R 上是单调函数且为减函数，故对；
