1、2015-2016 学年河北省廊坊市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知集合 A=1，2，3，B=2，3，4，全集 U=AB，则集合 U（AB）中元素的个数是（ ）A1 B2 C3 D42复数 等于（ ）A2+2i B1+i C 1+i D22i3已知点 A（1，0） ，B（6，2）和向量 =（2，） ，若 ，则实数 的值为（ ）A B C D4已知 的终边过点 P（2， 1） ，则 cos 的值为（ ）A B C D5如图程序的功能是（ ）A计算 1+3+5+2016B计算 1352016C求方程 135i=2016 中的 i 值D
2、求满足 135i2016 中的最小整数 i6下列说法正确的个数是（ ）若 f（x）= +a 为奇函数，则 a= ；“在ABC 中，若 sinAsinB，则 AB”的逆命题是假命题；“三个数 a，b，c 成等比数列”是“ b= ”的既不充分也不必要条件；命题“xR，x 3x2+10”的否定是“ x0R，x 03x02+10” A0 B1 C2 D37已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满足不等式组 ，设 与 的夹角为 ，则 sin 的最大值为（ ）A B C D8若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A28 B32 C D249如图所示，y=f（x）是可导函数，直线 l：y
3、=kx+3 是曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线，令h（x）=xf（x） ，h（x）是 h（x）的导函数，则 h（1）的值是（ ）A2 B1 C 1 D10用一个边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，现将半径为 的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）A B C D11过双曲线 =1（a 0，b0）的一个焦点 F 向其一条渐近线作垂线 l，垂足为A，l 与另一条渐近线交于 B 点，若 =3 ，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D12已知函数 f（x）= ，设 ab0，若 f（a）=f（b） ，则 bf（a）的取值范围是（ ）A （0， ）
4、 B （ ，2 C0， ） D （ ，2）二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13现有 10 张奖券，其中 4 张有奖，若有 4 人购买，每人一张，至少有一人中奖的概率是_14已知数列a n中 a1=1，na n=（n+1）a n+1，则 a2016=_15若直线 ax+2by2=0（a ，b0）始终平分圆 x2+y24x2y8=0 的周长，则 ab 的取值范围是_16函数 f（x）=|cosx|（x0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为 ，则 =_三、解答题（共 5 小题，满分 60 分）17设a n是公差大于零的等差数列，已知 a1=3，a
5、3=a2227（1）求a n的通项公式；（2）设b n是以函数 y=4sin2x 的最小正周期为首项，以 2 为公比的等比数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn18近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5 就是其中一个重要指标各省、市、县均要进行实时监测，某市 2015 年 11 月的 PM2.5 浓度统计如图所示日期 PM2.5 浓度 日期 PM2.5 浓度 日期 PM2.5 浓度111 137 1111 144 1121 40112 143 1112 166 1122 42113 145 1113 197 1123 35114 193 1114 194 1124 53115 1
6、33 1115 219 1125 88116 22 1116 41 1126 29117 22 1117 90 1127 199118 57 1118 46 1128 287119 111 1119 80 1129 2911110 134 1120 67 1130 452（1）请完成频率分布表；空气质量指数类别 PM2.5 24 小时浓度均值 频数 频率优 035 4良 3675 7轻度污染 76115 4中度污染 116150 6重度污染 151250严重污染 251500合计 / 30 1（2）专家建议，空气质量为优、良、轻度污染时可正常进行户外活动，中度污染及以上时，取消一切户外活动，在
7、 2015 年 11 月份，该市某学校进行了连续两天的户外拔河比赛，求拔河比赛能正常进行的概率（3）PM2.5 浓度在 75 以上，空气质量为超标，陶先生在 2015 年 11 月份期间曾有两天经过该市，记 表示两天中 PM2.5 检测数据超标的天数，求 的分布列及期望19如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AB CD，ABC=CAD=90，点 E在棱 PB 上，且 PE=2EB，PA=AB=BC（1）求证：PD平面 AEC；（2）求二面角 PACE 的余弦值20已知点 R 是圆心为 Q 的圆（x+ ） 2+y2=16 上的一个动点，N（ ，0）为定点，线段 RN 的中垂线与直线
8、 QR 交于点 T，设 T 点的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）过圆 x2+y2=1 上的动点 P 作圆 x2+y2=1 的切线 l，与曲线 C 交于不同两点 A，B，用几何画板软件可画出线段 AB 的中点 M 的轨迹是如图所示的漂亮的曲线，求该曲线的方程21mR ，函数 f（x）=mx lnx+1（1）讨论函数 f（x）的单调区间和极值；（2）将函数 f（x）的图象向下平移 1 个单位后得到 g（x）的图象，且 x1= （e 为自然对数的底数）和 x2 是函数 g（x）的两个不同的零点，求 m 的值并证明：x 2e 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按
9、第一题计分.【选修 4-1：几何证明选讲】22已知ABC 中，D 是ABC 外接圆劣弧 上的点（不与点 A，C 重合） ，延长 BD 至E，且 AD 的延长线平分CDE（1）求证：AB=AC；（2）若BAC=30，ABC 中 BC 边上的高为 4+2 ，求 ABC 外接圆的面积【选修 4-4：坐标系与参数方程 】23在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C： cos2=2sin，过点 P（0 ，1）的直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线 l与轨迹 C 交于 M，N 两点（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（2）求|MN|
10、【选修 4-5：不等式选讲】24设函数 f（x）= （1）当 m=3 时，求函数 f（x）的定义域；（2）若函数 f（x）的定义域为 R，求 m 的取值范围2015-2016 学年河北省廊坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1已知集合 A=1，2，3，B=2，3，4，全集 U=AB，则集合 U（AB）中元素的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合的全集，然后求解交集的补集【解答】解：集合 A=1，2，3，B=2，3，4，全集 U=AB=1，2，3，4，集合 U（AB）= 1，4
11、元素个数为：2故选：B2复数 等于（ ）A2+2i B1+i C 1+i D22i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，求得 z 的值【解答】解： = =1+i，故选：C3已知点 A（1，0） ，B（6，2）和向量 =（2，） ，若 ，则实数 的值为（ ）A B C D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】先求出 =（5，2） ，再由向量平行的性质能求出实数 的值【解答】解：点 A（1，0） ，B（6，2） ， =（5，2） ，向量 =（2，） ， ， ，解得 故选：A4已知 的终边过点 P（2， 1） ，则 cos 的值
12、为（ ）A B C D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由题意可得 x=2，y=1，r= ，再根据 cos= 计算得到结果【解答】解：由题意可得 x=2，y=1，r= ，cos= = = ，故选 C5如图程序的功能是（ ）A计算 1+3+5+2016B计算 1352016C求方程 135i=2016 中的 i 值D求满足 135i2016 中的最小整数 i【考点】伪代码【分析】逐步分析程序中的各语句的功能，可知程序的功能是求满足135i2016 中的最小整数 i【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1满足条件 S2016，i=3 ，S=13满足条件 S2016，i=5 ，S=135满足
13、条件 S2016，i=n ，S=135n，满足条件 S2016，退出循环，输出此时 n 的值，故程序的功能是求满足 135i2016 中的最小整数 i，故选：D6下列说法正确的个数是（ ）若 f（x）= +a 为奇函数，则 a= ；“在ABC 中，若 sinAsinB，则 AB”的逆命题是假命题；“三个数 a，b，c 成等比数列”是“ b= ”的既不充分也不必要条件；命题“xR，x 3x2+10”的否定是“ x0R，x 03x02+10” A0 B1 C2 D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用函数的奇偶性判断的正误；利用三角形中正弦定理判断的正误，利用充要条件判断的正误，命题的否定判断
14、 的正误【解答】解：对于，若 f（x）= +a 为奇函数，则 f（0）=0，解得 a= ，所以不正确；对于， “在 ABC 中，若 sinAsinB，由正弦定理可得 ab，则 AB” ，的逆命题是真命题；所以不正确；对于， “三个数 a，b，c 成等比数列”则 b2=ac，b= ，若 a=b=c=0，满足 b= ，但三个数 a，b，c 成等比数列不成立，“三个数 a，b，c 成等比数列 ”是“b= ”的既不充分也不必要条件，所以正确对于，命题“xR ，x 3x2+10”的否定是“ x0R，x 03x02+10” 满足命题的否定形式，所以正确故选：C7已知 O 为坐标原点，A，B 两点的坐标均满
15、足不等式组 ，设 与 的夹角为 ，则 sin 的最大值为（ ）A B C D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出 A，B 的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使 sin 最大，则由 ，解得 ，即 A（1，2） ，由 ，得 ，即 B（2，1） ，此时夹角 最大，则 =（1，2） ， =（2，1） ，则 cos= = ，sin= 故选：D8若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A28 B32 C D24【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得到此几何体由三部分组成，上半部分是一个四棱台，下半部分是两个平行六面体，其中四棱台的中间部分是一个棱长为 2 的正方体，两边是两个全等的直三棱柱，两个平行六面体的底是边长为 2 的正方形，高为 2，由此能求出此几何体的体积【解答】解：由三视图得到此几何体由三部分组成，上半部分是一个四棱台，下半部分是两个平行六面体，其中四棱台的中间部分是一个棱长为 2 的正方体，两边是两个全等的直三棱柱，两个平行六面体的底是边长为 2 的正方形，高为 2，这两个直三棱柱的底面三角形的直角边分别为 1，2，高为 2，此几何体的体积 V=323+2（ 212）=28故选：A
