1、2016 届江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试数学（文)试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 20,ln1AxBxyx，则 RACBA. 1,B. 1C. ,D. 1,22 是直线 和直线 垂直的（ ）mm093myA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3.已知 ， ， 满足 ，则 13log2x12x333()logxA B C D12213x312x4 向 量 满 足 则 向 量 与 的 夹 角 为 （ ）a,b,()(),ababA. B C D 5609005已知 是两条不同的直线 , 是两个不同的平面,给出下列命题：nm
2、, 若 , ,则 ； 若 , ,且 ,则 ；/ mnn若 , ,则 ； 若 , ,且 ,则 /其中正确命题的序号是（ ）A B C D6. 函数 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 为 （ ）)(09)3xy=2sin(6A B. C.3 D. 4 237. 各项均为正数的等差数列 中， ，则前 12 项和 的最小值为（ ） na49361SA. B. C. D.780728如图 2，网格纸是边长为 1 的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 209已知变量 、 满足约束条件 ，则 的xy2017xyyx取值范围是 （
3、）A B C D9,659,6,5,36,3,610过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的 倍的直线方程是（ ） (,2)yx2A. B. 或 10xy210y50xyC. D. 或11若定义在 上的偶函数 是 上的递增函数，则不等式Rf,的解集是（ ）2logffA. B. C. D.1,2,2,R2,12. 设 ，若函数 在区间 (0，4)上有三个零点，则实数 a 的()lnfx()gxfax取值范围是A. B. C. D. 10,e,2eln20,ln1,2e二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13已知 ， 使不等式 成立，则实数 的取值范围xR42log3axa是 .14.
4、过点 的直线与圆 相交于 两点，则 的最小值为 .)1,( 062yxBA,|15.已知 ， 平面 ，若 ，则四面体 的外90oABCPABC1PCPABC接球（顶点都在球面上）的表面积为 .16函数 ， ， ， ，对任意的xf)(,1axag25cos)()0(，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围为 2,1x2 )(12f三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17 （本小题满分 10 分）已知圆 C 经过点 ，和直线 相切，且圆心在直线(,)A1xy上2yx（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程18. （本小题满分 12
5、分）已知函数 27cosin216fxxR.（1）求函数 的周期及单调递增区间；（2）在 ABC中，三内角 A,B,C 的对边分别为 ,abc，已知函数 fx的图象经过点,，若 2,=6bcaurg且，求 a 的值.19 （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 中，D 是 的中点。1ABCAB（1）证明： 平面 ；1/（2）设 ，求异面直线 与 所成角的大小2， 1CDA20 （本小题满分 12 分）设等差数列 的前 n 项和为 ， 数列 的前 n 项和anS56124,3aSb为 满足nT112()nTN(I)求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和；1n() 是否存在非零实数 ，使得数列
6、为等比数列？并说明理由b21 （本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 中， ，ABCD1/,22BADBCADa是 的中点， 是 AC 与 的交点，将 沿 折起到图 2 中 的位置，EADOEEE得到四棱锥 1（）证明： 平面 ；CD1AO（）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的1BE1ABCDE362a值22. （本小题满分 12 分）已知函数 ， ()exafxR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；0()yf1,()f（）当 时，求证： 在 上为增函数；10（）若 在区间 上有且只有一个极值点，求 的取值范围()fx(, a南昌二中 20152016 学年度上学期第四次考
7、试高三数学（文）试卷参考答案案一、选择题1.B 2.A 3. A 4. C 5.C 6. A 7. D 8.C 9. A 10. B 11. A 12. D二、填空题13. 14. 4 15. 16. ,233,4三、解答题17 （本小题满分 10 分）已知圆 C 经过点 ，和直线 相切，且圆心在直线(2,1)A1xy上2yx（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程【答案】 （1） ；（2） 或 )()(2yx0xxy43试题解析: 解：（1）设圆心的坐标为 ，),(a则 ，化简得 ，解得 2|1|)2()(aa 0121a，半径
8、 ,1C)()(| ACr圆 C 的方程为 )1(22yx（2）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 ，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长0x为 2，满足条件。当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ，由题得 ，解得 ，ky1|2|k43k直线 l 的方程为 xy43综上所述：直线 l 的方程为 或 0xy4318. （本小题满分 12 分）已知函数 27cosin216f xR.（1）求函数 fx的周期及单调递增区间；（2）在 ABC中，三内角 A,B,C 的对边分别为 ,abc，已知函数 fx的图象经过点,，若 2,=6bcaACurg且，求 a 的值.19如图，直三棱柱
9、 中， 分别是 ， 的1ABCED,AB1中点。（1）证明： 平面 ；1/1（2）设 ，求异面直线 与2ABA， 1BC所成角的大小D1【答案】 （1）见解析；（2） 6试题解析：（1）证明：连结 ，交 于点 O，连结 OD，1AC因为 D 是 AB 的中点，所以 ，/BD因为 平面 ，OD 平面 ，1BC11所以 平面 /A（2）解：结合（1）易知 即为异面直线 与1DO1BC所成角，D因为 AC=BC，D 为 AB 的中点，所以 CDAB，又因为该三棱柱是直三棱柱，所以 CD平面 ，1A即 CD平面 ，1AE,1 1112,62CBDOAC， ，113cos,DO20设等差数列 的前 n
10、项和为 ， 数列 的前 n 项和anS56124,3aSb为 nT满足 112()anN(I)求数列 的通项公式及数列 的前 n 项和；n 1na()是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由b【答案】 (I) (II)见解析. 69n【解析】(I) 设数列 的公差为 d,由 ，解得a1665643,1,a24Sa又,51d2a因此 的通项公式是n *52nnN所以 ，从而前 n 项的和为1123nan113572572369nn (II)因为 111,(),4na nTNT24n当 时， ；当 时， .n6b113nnb所以 ，若 是等比数列，则有 而 ，所以142n21b261,
11、b矛盾，故数列 不是等比数列.2211b与 n20如图 1，在直角梯形 中， ，ABCD1/,22BADBCADa是 的中点， 是 AC 与 的交点，将 沿 折起到图 2 中 的位置，EADOEE1E得到四棱锥 1（）证明： 平面 ；CD1AO（）当平面 平面 时，四棱锥 的体积为 ，求 的值1BE1ABCDE362a【答案】 （）详见解析；（） 6a试题解析：（）在图 1 中，因为 ， 是 的中点 ，2aABD所以 ，AC即在图 2 中， 从而 平面1,BEOCBE1OC又 所以 平面 /D1A（）由已知，平面 平面 ，1D且平面 平面 1ABECDBE又由（）知， ，所以 平面 ，1O1A
12、CDE即 是四棱锥 的高，1由图 1 可知， ，平行四边形 面积 ，12ABaB2SCABa从而四棱锥 的为231336VSAOa，1CDE由 ，得 326aa22.已知函数 ， ()exfxR（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；0a(yf1,()f（）当 时，求证： 在 上为增函数；1)x0（）若 在区间 上有且只有一个极值点，求 的取值范围()fx(, a（20）解：函数 ()f定义域为 0x，32()exxf.（）当 时， ， .0aeff1ex所以 .(1)e,()2f所以曲线 在点 处的切线方程是 ，yfx1,()f e2(1)yx即 . 3 分2e=0（） 当 时， .1a()
13、fx321ex设 ，则 .()gx322()(31)gx令 得， 或 ，注意到 ，所以 .1)(0x13x013令 得，注意到 ，得 .()3x03x所以函数 在 上是减函数，在 上是增函数.()gx10,31(,)3所以函数 在 时取得最小值，且 .207g所以 在 上恒大于零.()x,)于是，当 ， 恒成立.0,(fx321e0x所以当 时，函数 在 上为增函数. 7 分1a)f0,（）问另一方法提示：当 时， .1a()fx321ex由于 在 上成立，即可证明函数 在 上为增函数.320x,()f0,（） （） . 32()e)xaxf设 ， .()hx32a2(h(1) 当 时， 在
14、上恒成立，0()0x,)即函数 在 上为增函数.,而 ， ，则函数 在区间 上有且只有一个零点 ，()ha(1)2h()hx0,10x使 ,且在 上， ，在 上， ，故 为函数0fx0,x()0f0在区间 上唯一的极小值点;()（2）当 时，当 时， 成立，函数 在区间 上ax,12()3hx()hx,1为增函数，又此时 ，所以函数 在区间 恒成立，即 ，(0)0,1()0f故函数 在区间 为单调递增函数，所以 在区间 上无极值；()fx,1()fx0,（3）当 时， .0ah32321xaxa当 时，总有 成立，即 成立，故函数 在区间 上,x()0()0f()fx0,1为单调递增函数，所以 在区间 上无极值.fx,1综上所述 . 0a
