1、揭阳三中 20152016 学年度第一学期高三级第 4 次月考数学(文科)试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 等差数列 na的前 项和为 nS，若 2341,aS则 ( )A. 12 B. 10 C. 8 D. 62. 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是( ) A. 3yx B. |1|yx C. 2yx D. |1yx 3已知向量 (1,)(2,)akbab且 与共线，那么 k的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 设函数 1,log)(21xxfx，则 (4)=f( )A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5.
2、 函数 sin()y是( ) A. 周期为 的奇函数 B. 周期为 的偶函数C. 周期为 2的奇函数 D. 周期为 2的偶函数6. 已知 ,1tan则 cos的值为( ) A. 5 B. 35 C. 45 D. 537. 设向量 ,b均为单位向量，且 |1ab，则 a与 b 夹角为( ) A. 3 B. 2 C. 23 D. 48. 函数 cosinyx的一条对称轴为（ ）A. x B. x C. x- D. x- 4 8 8 49. 若函数 2()fbc的图象的顶点在第四象限，则函数 ()f的图象是（ ）10. 已知函数 1)(23xaxf 在 ),(上是单调函数,则实数 a 的取值范围是（
3、 ）A ), B 3 C 3()( D ),(11. 函数 xf的定义域为开区间 ),(ba，导函数)(在 ,ba内的图象如图所示，则函数 )(xf在开区间 )内有极小值点（ ） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4 个12. 设函数 ()yfx的图像与 2xay的图像关于直线 yx对称，且(2)1f，则 ( )（A） （B） （C） （D） 4二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知 ）若 （ bakba2),3(),12( ） ，（ 则 k 的值是_.14函数 cosyx在区间 0上的最大值是 .15已知1tan(+)=,tan,53则 tan(+)4的值
4、为_ _.16. 下列四种说法：命题“ xR，使得 21x ”的否定是“ xR，都有 213x”；设 p、 q是简单命题，若“ pq”为假命题，则“ pq” 为真命题；若 是 的充分不必要条件，则 是 的必要不充分条件；把函数 sin2yxR的图像上所有的点向右平移 8个单位即可得到函数 sin24yxRx的图像其中所有正确说法的序号是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、 （本题满分 10 分）已知 na为等差数列，且 138a， 241a。abxy)(fO 乙DCBAF E乙DCBA（1）求数列 na的通项公式；（2）记 的前 项和为
5、 nS，若 1a， k， 2S成等比数列，求正整数 k的值。18、 （本题满分 12 分）已知： ABC 中角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c 且cos()csins()sin(2)22AC.(1)求角 C 的大小； (2)若 sin,siAB成等差数列，且 18B，求 c 边的长.19、 （本题满分 12 分）有编号为 1210,DL的 10 个零件，测量其直径（单位：mm） ，得到下面数据：其中直径在区间（148，152内的零件为一等品编号 1234D567D8910D直径 151 148 149 151 149 152 147 146 153 148（1）从上述 10 个
6、零件中，随机抽取 1 个，求这个零件为一等品的概率；（2）从一等品零件中，随机抽取 2 个. 用零件的编号列出所有可能的抽取结果；求这 2 个零件直径之差的绝对值为 2 的概率20、 （本题满分 12 分）如图甲，在平面四边形 ABCD 中，已知 45,90,AC105ADC, BD,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BDC（如图乙） ，设点 E、F 分别为棱AC、AD 的中点.（1）求证：DC 平面 ABC；（2）设 CDa，求三棱锥 ABFE 的体积.21、 （本题满分 12 分）已知动圆 M 在 y 轴右侧与圆 F： 12yx外切,又与 y 轴相切（1）求圆心 M
7、 的轨迹 C 的方程；（2）已知点 P在轨迹 C 上，过 F作直线 l与 P垂直，记 l与直线 1x的交点为 R，试探究直线R与轨迹 C 是否有唯一交点？并说明理由22、 （本题满分 12 分）设 0a，函数 xaxfln2)(2.（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）若函数 ()yfx在区间 ),0(上有唯一零点，试求 a的值揭阳三中 20152016 学年度第一学期高三级第 4 次月考数学（文科） 答案一、选择题1 （C） 2 （D） 3 （A） 4 （B） 5 （B）6 （D） 7 （C） 8 （C） 9(A) 10 （B）11(A) 12 （C）9 A 对称轴 0,()22bfxb，
8、直线过第一、三、四象限10 B ()31fxa在 ),恒成立， 24103aa11 A 极小值点应有先减后增的特点，即 (0()()fxfxfx二、填空题13、6 ； 14、 36； 15、 98； 16、 。三、解答题17、 （本题满分 10 分）（1）设数列 na的公差为 d，由题意知 1284ad，解得 12a， d所以 1n（2）由（1）可得 121naSn，因 1a， k， 2S成等比数列，所以212ka，从而 23kk，即 2560解得 6或 （舍去） ，因此 6。18、 （本题满分 12 分）解：(1) 由 cos()csins()sin(2)22ABAC得 sincosinco
9、sin2ABAC-2 分 sin()siC，-3 分 ,n()si ii2ico，-4 分 0 s0 1cosC .3 -6 分(2)由 in,siAB成等差数列，得 2sinisnCAB，由正弦定理得 .2bac-8 分 18， 即 .36,osCab -10 分由余弦弦定理 abCabc 3)(cos222 ，,42， .6 -12 分19、 （本题满分 12 分）解：（1）由所给数据可知，一等品零件共有 5 个.设“从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A，则 1()250PA.-4 分（2）一等品零件的编号分别为 1D、 3、 4、 5、 6D.-5 分从这 5 个一等品零
10、件中随机抽取 2 个，所有可能的结果有： 13141516(,),),D,343536(,),)DF E乙DCBA4546(,),)D, 56()D共有 10 种. -8 分 记“从一等品零件中，随机抽取 2 个零件直径之差的绝对值为 2”为事件 B，-9 分因从一等品零件中，随机抽取 2 个零件的所有可能有 10 种，而 B 所包含的基本事件有： 1315345(,)(,)(,)(,D共有 4 种. -11 分所以 ()5410P.-12 分20、(本题满分 12 分) 解：（1）证明：在图甲中 ABD且 45 45ADB , 90C即 ABD-2 分在图乙中，平面 ABD 平面 BDC ，
11、 且平面 ABD平面 BDCBDAB底面 BDC，ABCD.- -4 分又 90DCB，DCBC,且 ABCDC 平面 ABC. -6 分（2）解法 1：E、F 分别为 AC、AD 的中点EF/CD，又由（1）知，DC 平面 ABC，EF平面 ABC，-7 分 13ABFEABAEBVSF-8 分在图甲中， 05DC, 60DC, 30B由 a得 2a , 12a- 10 分 13ABCS 2AEBS 2331ABFEVa-12 分21、(本题满分 12 分)解：（1）设 M（x,y） （x0）依题意知 1MFx，-2 分即 21xyx，两边平方并整理得 2y4(0).即轨迹 C 的方程为 2
12、4(0).-4 分（注： 0也可标为 ）（2）解法 1：由（1）知，轨迹 C 的方程为 2y4x(0)设 (,)Rr，2(,)4pP0-5 分 F， Fur 2(,)1,)04pr，-6 分2(1)04pr，解得 2r-7 分直线 PR的方程为 241pxyr，-9 分把 2pr代入并整理，得2pxy，-11 分联立 4yx，消去 ，得 2()0，方程有两个相等的实数根；-13 分直线 PR与轨迹 C 有唯一交点-14 分【解法 2：设点 (,)mn，则直线 PF 的斜率 1PFnkm，-5 分 lF 1lk，-6 分直线 l的方程为 ()yxn，-7 分令 1x得 2(1m，即点 R 的坐标
13、为 2(1),mn，-8 分直线 PR 的斜率2()()11PRnk， 24nm代入得 2-10 分由 2yx(0)得当 y时， x， y，过点 P 的轨迹 C 的切线的斜率为 1km= 2n= PRk-12 分当 0y时， 2x， yx，过点 P 的轨迹 C 的切线的斜率为 1k= 2n= PRk-13 分即直线 PR 为轨迹 C 的切线，故直线 与轨迹 C 有唯一交点-14 分】22、(本题满分 12 分)解：（1）当 1a时，函数 xxfln2)(2 则 xf2)(= 1 由 0f得 ()0 x解得 152函数 )xf的单调增区间为 15(,)2 由 (0f得 2()0x，又 x解得 1
14、5x，函数 )(f的单调减区间为 15(0,)2-5 分（2）由 xaxln2得 2()()f a令 0x得 20x解得 14,a224 则 212()()fxxx 0 ， 1， 0，由 ()f，得 2，由 ()f得 2x， 当 0a时，函数 ()fx在 20,)上单调递减，函数 ()f在 2,)x上单调递增，（其中224ax）函数 ()f在 2时，取得最小值 2()fx函数 y在区间 ),0(上有唯一零点，即方程 )(xf=0 在区间 上有唯一解 2()0f即22ln,0.a于是， 2lx 0a， 2ln10x 令 ()lgx，显然，函数 ()gx在 ),单调递增，且 (1)0g即 21，由此可得 -12 分【解法二：函数 ()yfx在区间 ),0(上有唯一零点，即方程 )(xf=0 在区间 ),(上有唯一解由2()0,lnfxa又 a，得 ln0x lny在 (,)单调递增，设 0, 令2(),lxg则 0x 21n)(l，令 ()hxx，显然函数 ()hx在 ),0单调递增，且 (1)0h， 当 1时，有 ()0，当 1时，有 ，当 0时， ,g当 时， (),g即函数 ()x在 0,单调递减，在 (,单调递增， 函数 在 )上，当 1x时，取最小值 min()(1)xg 方程 )(xf=0 在区间 ,(上有唯一解等价于 i2,a 2a-12 分
