1、2015 年广东仲元中学 10 月月考文科数学试题 2015.10一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 M=3，4，5，N=1，2，5，则集合1，2可以表示为 A MN B （ M）（ N） C M（ N） D （ M）NUCUUUC2若复数 （R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为 A 6 B 4 C 4 D 63若等比数列a n的前 n 项和 ，则 a2= A 4 B 12 C 24 D 364已知命题 p：xR，x20，命题 q：xR，2 xx 2，则下列说法中正确
2、的是 A 命题 pq 是假命题 B 命题 pq 是真命题C 命题 p（q）是真命题 D 命题 p（q）是假命题5设 a=0.36，b=log 36，c=log 510，则 A cba Bacb C bca D abc6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A B C D 7已知 的最小值是 2，则 a= A 1 B 2 C 3 D 48若 f(x)=2cos(x+)+m，对任意实数 t 都有 f(t+ )=f(t)，且 f()=1 则实数 m 的值等于 A 1 B 3 或 1 C 3 D 1 或 39执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A 14 B 15 C 16 D 1710AB
3、C 中，BAC=120，AB=2，AC=1，D 是边 BC 上的一点（包括端点） ，则 的取值范围是 A 1，2 B 0，1 C 0，2 D 5，211如图过拋物线 y2=2px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为 A y 2= x B y 2=9x C y 2= x D y 2=3x12已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）=1，且当 x0 时，有 xf(x)f(x)，则不等式 f (x)x 的解集是（ ）A （1，+） B （1，0）C （1，0）（1，+） D （，1）（1，+）二、填空题：本大题
4、共 4 小题，每小题 5 分13已知 ，则 cos（）= 14甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 15在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M，则满足AMB 为锐角的概率为 16A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD=4，AB=2 ，则该球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17已知数列a n的前 n 项和为 Sn=n2，nN *（1）证明：数列a n是等差数列；（2）设
5、，求数列b n的前 2n 项和ab)1(218已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B ，C 所对的边，且 c=2，sinC （cosB sinB）=sinA（1）求角 C 的大小；（2）若 cosA= ，求边 b 的长19如图，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯形，DAB=90，ABCD，AD=AF=CD=2，AB=4（I）求证：AC平面 BCE；（II）求三棱锥 EBCF 的体积20已知抛物线 C：y 2=4x，过 x 轴上的一定点 Q（a，0）的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点（a 为大于零的正常数） （1）设 O 为坐标原点，求
6、ABO 面积的最小值；（2）若点 M 为直线 x=a 上任意一点，探求：直线 MA，MQ，MB 的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由21已知函数 f（x）=(x 22x)lnx+ax 2+2（）当 a=1 时，求 f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程；（）当 a0 时,设函数 g（x）=f(x)x2；（i）若函数 g（x）有且仅有一个零点时，求 a 的值；（ii）在（i）的条件下，若 e2 xe，g（x）m 恒成立，求 m 的取值范围三.请考生在 A，B，C 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 （
7、本小题满分 10 分）A:选修 4-1：几何证明选讲22如图所示，AB 为圆 O 的直径，BC，CD 为圆 O 的切线，B，D 为切点（）求证：ADOC；（）若圆 O 的半径为 2，求 ADOC 的值B:选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）已知 A（2，0） ，B（0，2） ，圆 C 上任意一点 M（x，y） ，求ABM 面积的最大值C:选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=k|x3|，kR，且 f(x+3)0 的解集为1，1（）求 k 的值；
8、（）若 a、b、c 是正实数，且 ，求证： 2015 年广东仲元中学 10 月月考文科数学参考答案与试题解析一、选择题：DABCC ABBCD DA二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 14甲 15 116 32三、解答题：17 （1）证明：当 n=1 时，a 1=S1=1，当 n2 时，a n=SnS n1 =n2（n1） 2=2n1当 n=1 时，上式也成立，a n=2n1当 n2 时，a na n1 =（2n1）（2（n1）1）=2，数列a n是等差数列，以 1 为首项，2 为公差（2）解：b n=2 +（1） nan=22n1 +（1） n（2n1） ，数列b n的前 2
9、n 项和=（2 1+23+22n1 ）+（1+3）+（5+7）+（4n3）+（4n1） ）= +2n= +2n 18.（1）由题意得 sinC（cosB sinB）=sinA，整理得：sinCcosB sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即 sinBsinC=sinBcosC，sinB0， tanC= ，C 为三角形内角，C= ；（2）cosA= ， sinA= = ，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= （ ）+ = ，由正弦定理得： = ，则 b= = 19 （I）证明：过 C 作 CMAB，垂足为 M，ADDC，四
10、边形 ADCM 为矩形，AM=MB=2，AD=2，AB=4，AC=2 ，CM=2，BC=2AB 2=AC2+BC2，即 ACBC，AF平面 ABCD，AFBE，EB平面 ABCD，AC平面 ABCD，ACEB，EBBC=B，AC平面 BCE；（II）解：AF平面 ABCD，AFCM，CMAB，ABAF=A，CM平面 ABEF，V EBCF =VCBEF = = = 20.（1）设直线 AB 的方程为：my=x a，联立方程组 ，消去 x 可得：y 24my4a=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y2=4m，y 1y2=4a，SAOB= a|y1y2|=2a ，所
11、以当 m=0 时， SAOB 有最小值 2a ；（2）结论：直线 MA，MQ，MB 的斜率成等差数列证明如下：设 M（a，t） ，k MQ= ，而 kMA+kMB= + = （*）因为 x1x2= =a2，x 1+x2=m（y 1+y2）+2a=4m 2+2a，代入（*）式，可得 kMA+kMB= = ，kMA+kMB=2kMQ，所以直线 MA，MQ，MB 的斜率成等差数列21 （）当 a=1 时，f（x）=（x 22x）lnxx 2+2，定义域（0，+）f（x）=（2x2）lnx+（x2）2xf（1）=3，又 f（1）=1，f（x）在（1，f（1） ）处的切线方程 3x+y4=0（） （）令
12、 g（x）=f（x）x2=0则（x 22x）lnx+ax 2+2=x+2，即 a=令 h（x）= ，则 h（x）=令 t（x）=1x2lnx，则 t（x）=x0，t（x）0，t（x）在（0，+）上是减函数，又t（1）=h（1）=0，当 0x1 时，h（x）0，当 x1 时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，h（x） max=h（1）=1，当函数 g（x）有且仅有一个零点时 a=1，（）当 a=1 时，g（x）=（x 22x）lnx+x 2x，若 e2 xe，g（x）m，只需证明 g（x） maxm，g（x）=（x1） （3+2lnx） ，令 g（x）=0 得
13、x=1 或 x=又e 2 xe，函数 g（x）在（e 2 ， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增又 g（ ）= e3 +2 ，g（e）=2e 23eg（ ）= e3 +2 2 2e2e（e ）=g（e） ，g（ ）g（e） ，m2e 23e三.22 （）证明：如图，连接 BD、ODCB、CD 是O 的两条切线，BDOC，2+3=90又 AB 为O 直径，ADDB，1+2=90，1=3，ADOC；（）解：AO=OD，则1=A=3，RtBADRtODC，圆 O 的半径为 2，ADOC=AB OD=823 （1）圆 C 的参数方程为 （ 为参数）所以普通方程为（x3） 2+
14、（y+4） 2=4 （2 分） ，x=cos，y=sin，可得（cos3） 2+（sin+4） 2=4，化简可得圆 C 的极坐标方程： 26cos+8sin+21=0 （5 分）（2）点 M（x，y）到直线 AB：xy+2=0 的距离为 （7 分）ABM 的面积所以ABM 面积的最大值为 （10 分）24 （）解：f（x+3）0 的解集为1，1，即为|x|k 的解集为1，1， （k0） ，即有k，k勰=1，1，解得 k=1；（）证明：将 k=1 代入可得，+ + =1（a，b，c0） ，则 a+2b+3c=（a+2b+3c） （ + + ）=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）3+2 +2 +2 =3+2+2+2=9，当且仅当 a=2b=3c，上式取得等号则有
