1、东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考理科数学试题 2015.12.24命题人：东莞一中：彭启虎第 I 卷 (选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.若集合 NMxyxNxyM则,2|),1ln(|= A. B. | C. 1|x D. 21|x|【考点】集合的运算【试题解析】， ，所以【答案】A2.复数 是纯虚数，则实数 的值为iaa)1(2(aA. -1 B. 2 C.2 D.2 或1【考点】复数乘除和乘方【试题解析】因为 是纯虚数，所以 ，解得：a=2【答案】C3.已知直线 l平面 ,直线 m平面 ,有下面四个命题:(1) lm;(2) l
2、m;(3) lm ;(4) lm.其中正确的命题( )A.(1)(2) B.(2)(4) C.(1)(3) D.(3)(4)【考点】垂直平行【试题解析】（1）：若 ，l平面 ，则 l平面 ，又 m平面 ，则 lm，故（1）对；（2）：若 ，l平面 ，则 l 或 l平面 ，则 l 与 m 可能平行、异面、相交 ，故（2）错误；（3）：若 lm，l平面 ，则 m平面 ，又 m平面 ，则 ，故（3）对；（4）：， 平行或相交，故（4）错误。故（1） （3）正确。【答案】C4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为 A. B. +6 C. +4 D. +632333【考点】空间几何体的表面积与体积空间
3、几何体的三视图与直观图【试题解析】该几何体是一个三棱柱，所以【答案】D5执行如图所示的程序框图，若输出的 S88，则判断框内应填入的条件是A k4? B k5? C k6? D k7?【考点】算法和程序框图【试题解析】s=0，k=1，k=2，s=2，否；k=3，s=7，否；k=4，s=18，否；k=5，s=41，否；k=6，s=88，是。所以条件为：k5。【答案】B6. 函数 的最小正周期是xy2sini2A. B. C. D. 42【考点】三角函数的图像与性质【试题解析】，所以 。【答案】C7. 已知 a0，x，y 满足约束条件 若 z2xy 的最小值为 1，则)3(,1xay aA. B.
4、 C1 D214 12【考点】线性规划【试题解析】作可行域：A（1，-2a） 。目标函数在 A 点处取得最小值，为 2-2a=1，所以 a= 。【答案】B8已知圆 C： ，若点 P（ ， ）在圆 C 外，则直线 l: 与圆 C 的24xy 0xy04xy 位置关系为A相离 B相切 C相交 D不能确定【考点】直线与圆的位置关系【试题解析】因为点 P（ ， ）在圆 C 外，所以圆心（0，0）到直线 l: 的距离则直线 l: 与圆 C 的位置关系为：相交。【答案】C9. 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 ，设向量,abc, ，若 ，则角 的大小为(3,sin)nac(,sin)m/mnBA B
5、C D665332【考点】余弦定理正弦定理平面向量坐标运算【试题解析】因为 ，所以 ，由正弦定理有： ，即：所以由余弦定理有： 。【答案】B10.已知函数 321()()(3)2fxbxaxb的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3，则不等式组 0y所确定的平面区域在 24xy内的面积为A B 2C D 【考点】圆的标准方程与一般方程导数的概念和几何意义【试题解析】因为函数的图像过原点，所以即 a=-3所以不等式组为 ，作可行域：由到角公式知：所以阴影的面积为圆面积的即为：【答案】B11.已知点 为椭圆 的左右焦点，若椭圆上存在点 P 使得21,F)0(12bayx则此椭圆的离心率的取值范围是,
6、PA.(0,B.(0, C.( D. )3221,3)1,3【考点】椭圆【试题解析】由椭圆的定义知： 因为 所以即 又因为 所以所以有： 故椭圆的离心率的取值范围是 。【答案】D12. 对于函数 ,若 , 为某一三角形的三条边，则称)(xfRcba, )(,)(cfbaf为 “可构造三角形函数” ，已知函数 （ 为自然对数的底数）是)(xf 1xet“可构造三角形函数” ，则实数的取值范围是A. B. C. D.),02,02,2,【考点】函数综合【试题解析】由题意可得： 对 恒成立，当 t -1=0 时， 满足条件；当 t -10 时， 在 R 上单调递减，所以同理： ， ，因为 ，所以所以
7、当 t-10 时， 在 R 上单调递增，所以 ，同理： ，所以所以综上可得：实数的取值范围是 。【答案】D第卷(非选择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.由曲线 ，直线 直线 围成的封闭图形的面积为 2xy,2xy1【考点】积分【试题解析】曲线 与直线 的交点为（-1，0） ，故【答案】14.设数列 的前 项和为 ，且数列 是首项和公比都是 3 的等比数列，则nanSn的通项公式 【考点】数列的概念与通项公式【试题解析】因为 所以 。当 时，当 时， 不适合上式，故 。【答案】15 外接圆半径为 ，内角 A,B,C 对应的边分别为 ，若 A=60
8、， ，ABC3cba,2b则 的值为 c【考点】余弦定理正弦定理【试题解析】由正弦定理知： 即由余弦定理知： 即 ，即【答案】16.球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面， 是边长为 2 的正三角形，ABC面 SAB面 ABC，则棱锥 S-ABC 的体积的最大值为 【考点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】因为面 SAB面 ABC，所以 S 在面 ABC 内的射影 H 落在 AB 上，根据球体的对称性知：当 S在最高点，也就是说 H 为 AB 的中点时，SH 最大，棱锥 S-ABC 的体积最大。因为 是边长为 2 的正三角形，所以所以【答案】三、解答题（本大题
9、共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17.（12 分） 已知数列 为等比数列， 为等差数列 的前 项和，nanSa.243,16nb.35,1Sb()求 和 的通项公式；nb（）设 ，求 .nbaaT21 T【考点】倒序相加，错位相减，裂项抵消求和等比数列等差数列【试题解析】（）因为 为等比数列，。即 ; 因为 为等差数列，所以 ，解得：d=2所以（）两式相减，得：故【答案】见解析18. （12 分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为 1，2，3，10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两
10、个连号的为三等奖，奖金 30 元；三球号码都连号为二等奖，奖金60 元；三球号码分别为 1，5，10 为一等奖，奖金 240 元；其余情况无奖金。（）求员工甲抽奖一次所得奖金 的分布列与期望； （）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【考点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列【试题解析】（）甲抽奖一次，基本事件总数为 =120，奖金 的所有可能取值为 0，30，60，240一等奖的情况只有一种，所以奖金为 240 元的概率为 P（=240）=三球连号的情况有 1，2，3；2，3，4;8，9，10 共 8 种，所以 P（=60）= 仅有两球连号中，对应 1，2 与 9，10 的各有 7 种；对应 2，3；3，4；8，9 各有 6 种。得奖金 30 的概率为 P（=30）=奖金为 0 的概率为 P（=0）= 的分布列为：（） 由（）可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P=四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数 B（4， ）故 【答案】见解析19.（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中， /BC， AD， BPA，24BCADE，平面 平面 （）求证：平面 平面 ；（）若直线 P与平面 A所成的角的正弦值为 5，求二面角 C的平面角的余弦值.
