1、第4章 Poisson过程,4.1 Poisson过程 4.2 与Poisson过程相联系的若干分布 4.3 Poisson过程的推广 4.4 更新过程,1,1798年入巴黎综合工科学校深造. 在毕业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师, 受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识.,法国数学家. 1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇.,泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用. 他工作的特色是应用数学方法研究各类力学和物理问题，并由此得到数学上的发现. 他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献.,
2、1800年毕业后留校任教，1802年任副教授, 1806年接替傅里叶任该校教授. 1808年任法国经度局天文学家,1809年任巴黎理学院力学教授. 1812年当选为巴黎科学院院士.,2,(0-1)分布 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1， 其概率分布为：,二项分布 随机变量 X 为n重贝努利试验中事件A 发生的次数，则 X B (n, p)，概率分布为：,复习,3,泊松分布 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, ，而取各个值的概率为则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为P()。,泊松定理 在二项分布中，设 np= 是常数，则有,4,复习,5,随机过程N(t)，t0称为计数
3、过程，如果N(t)表示从0到 t 时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：N(t) 0且取值为整数；若s t , 则 N(s) N(t) 且N(t) N(s)表示(s , t时间内事件A发生的次数。,4.1 Poisson过程,计数过程,6,注：由( 3 )可知过程有平稳增量;由于E(N(t)=lt, 常将l称为Poisson过程的速率或强度，表示单位时间内发生的事件的平均个数。,Poisson过程定义,计数过程N(t)，t0称为参数为l(l0)的Poisson过程，如果：(1) N(0)=0;(2) 过程有独立增量;(3) 对任意的 s，t 0，,7,解,设 表示在时间 t 时到达
4、的顾客数, 9:00为0时刻,顾客到达某商店服从参数 人/小时的泊松过程，已知商店上午9:00开门，试求到9:30时仅到一位顾客，而到11:30时总计已达5位顾客的概率。,Poisson过程在排队论中的应用,8,若以N(t)表示0,t时间内发生事故的次数. Poisson过程 是很好的一种近似. 考虑保险公司每次赔付都是1, 每月平均4次接到索赔要求，则一年中它要付出的平均金额为多少？,事故的发生次数和保险公司接到的索赔数,解:,设一年开始为0时刻，1月末为时刻1，则年末 为时刻12：,均值,9,设 是一个计数过程，它满 （1） （2）过程有平稳独立增量， （3）存在 当 时，（4）当 时，,
5、Poisson过程的等价定义,10,Poisson过程的等价性(说明),11,证明：只需要验证 服从参数为 的Poisson分布即可。记有因此令 得 解此微分方程 由 得 . 故,Poisson过程的等价性(证明),12,令 ，得由归纳法得到,当 时，,Poisson过程的等价性(证明),于是,13,反之，证明Poisson过程满足条件(1)-(4)，只须验证条件(3),(4),Poisson过程的等价性(证明),14,事件 A 的发生形成强度为 的Poisson过程 如果每次事件发生时以概率 p 能够被记录下来，并以M(t)表示到 t 时刻被记录的事件总数，则 为一个强度为 的Poisson
6、过程。,即验证,Poisson过程定义的应用,分析：,由于每次事件独立，记录与不记录都与其他事件是否被记录独立。事件发生服从Poisson分布，所以M(t)具有平稳增量，只需验证M(t)服从均值为 的Poisson分布。,15,设N( t ), t0)是参数为的泊松过程, 事件A在0,时间区间内出现n次，试求:,PN(s)=k|N()=n, 0kn,0s,Poisson过程定义的应用,原式=,解:,16,泊松过程的数字特征,均值函数,方差函数,自相关函数,17,泊松过程的特征函数为：,协方差函数,泊松过程的数字特征,18,4.2 与Poisson过程相联系的若干分布,4.2.1 Xn和Sn的分
7、布 4.2.2 事件发生时刻的条件分布,19,t,S1,S2,S3,S4,N(t),是跃度为1 的阶梯函数,Sn表示事件A 第n次发生的时刻,或者第n次发生的等待时间，Xn表示事件第n-1次与第n次发生的时间间隔.,S0,4.2.1 Xn和Sn的分布,20,设Xn, n1是参数为的泊松过程N(t), t0 的到达时间间隔序列,定理4-1,则Xn, n1相互独立同服从指,数分布，且EX=1/.,证: (1) 因 X1t=0, t 内事件A不出现,PX1t=PN(t)=0=et,Xn的分布,即X1 服从均值为1/的指数分布.,21,(2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有,PX2t|X1=s=P在(
8、s, s+t 内事件A不发生|X1=s ,=PN(s+t) N(s)=0 |X1=s,= PN(t) N(0)=0,= PN(t)=0= et,由独立增量性，与s无关,故X2与X1相互独立，且X2也服从均值为1/的指数布.,22,由平稳增量性,(3) 对于一般 n1 和t0,以及 r1，r2，rn-10, 有,PXnt |Xi=ri ,1in1,=PN(t+r1+ +rn1) N(r1+r2+rn1)=0,= PN(t) N(0)=0= et.,即,23,故Xn与X1 , Xn-1相互独立，且Xn也服从均值为1/的指数布.,注 (1) 上述定理的结果应该在预料之中,因为泊 松过程有平稳增量,过
9、程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数分布的“无记忆性”是对应的.(2) 泊松过程的另一个等价定义：如果每次事件发生的时间间隔X1,X2,相互 独立，且服从同一参数 的指数分布，则计数过 程N(t),t0是参数为 的泊松过程.(3)上述定义提供模拟泊松过程的途径.,24,甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆(甲)，15分钟1辆(乙)的泊松分布. 假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望.,例题,解:,两路车混合到达过程为 ，,甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布 和 的参数分别为
10、 ，,公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分布。再由指数分布的无记忆性，这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。,25,离去的人数 是强度为3的Poisson过程(小时为单位). 设8：00为0时刻, 则,例题,早上8：00开始有无穷多个人排队等候服务，只有一名服务员，每个接受服务的时间是独立的服从均值为20min的指数分布。那么，中午12：00为止平均多少人已离去，已有9个人接受服务的概率是多少？,解：,其均值为12，即到12：00为止，离去的人数平均为12人, 有9个人接受过服务的概率为,26,注：在排队论中称Sn 服从爱尔朗分布.,参数为的泊松过程N(t),t0,事件A第
11、n 次出现的等待时间Sn服从 分布,其概率密度为：,Sn的分布,定理4-2,27,Snt=N(t)n=0, t内A至少出现n次,证: 因Sn是事件A 第 n次出现的等待时间,故,28,独立，则,29,已知仪器在 0 , t 内发生振动的次数 N(t) 是具有参数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障，求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。,解：,故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:,故障时刻即仪器发生第k次振动的时刻，Sk 服从 分布:,例题,30,设有n位顾客在0时刻排队进入仅有一个服务员的系统.假定每位顾客的服务时间独立,均服从参数为的指数分布.以N(t)表示到 t 时刻为止已
12、被服务过的顾客人数.求:（1）EN(t);（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望; （3）第n位顾客能在 t 时刻之前完成服务的概率.,提示: 的分布函数是,例题,31,解:（1）由新定义, N(t),t0为强度的Poisson 过程， 故 EN(t)=t ； （2）记第n位顾客完成服务的时刻为 ，根据定理4-2, 第n位顾客等候服务时间为,（3）根据定理4-2,或,32,例题,33,解:,34,4.2.2 事件发生时刻的条件分布,假设在0, t 内事件A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间X1的分布。,泊松过程,平稳独立增量过程,可以认为0, t 内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相
13、等，或者说，这个事件的到达时间应在0, t 上服从均匀分布。,对于0st有,35,即条件分布函数为：,条件分布密度为：,36,在已知N(t)=n的条件下，事件发生的 n个时刻S1， S2， ,Sn的联合密度函数为,定理4-4,证明 设 ，取 充分小使得,37,所以，,38,当 时， 的条件分布与0, t 区间上服从均匀分布的n个相互独立随机变量 的顺序统计量 的联合分布相同。在已知0, t 发生了n次事件的前提下，各次事件发生的时刻 （不排序）可看作相互独立的随机变量，且都服从0, t 上的均匀分布。,说明,39,假设乘客按参数为 的泊松过程来到一个火车站，若火车在时刻 t 起程，求在0, t
14、内到达车站的乘客等待时间总和的期望，即求,其中， 是第 i 个乘客的来到时刻。,例题,在N(t)给定的条件下，取条件期望，,解：,40,记 为n个独立的服从(0, t 上均匀分布的随机变量，有,所以,41,参数为 n 和 s/t 的二项分布,设在0, t内事件A已经发生n次,且0 s t,对0 k n ,求在0, s内事件A发生 k 次的概率.,练习,解：,42,设事件A在s时刻被记录的概率是 ，若以 表示到 t 时刻被记录的事件数，还是一个Poisson过程么？,解： 不是一个Poisson过程，虽然它具有独立增量性. 但是，受 影响，不再有平稳增量性.可以证明，对 依然是Poisson分布
15、，参数与 有关. 的均值为 其中,例题,43,事实上，若对N(t)给定的条件下取条件期望，则有,其中，p：,44,从而,所以,45,4.3 Poisson过程的推广,4.3.1 非齐次Poisson过程 4.3.2 复合Poisson过程,46,4.3.1 非齐次Poisson过程,齐次Poisson过程，其强度是常数，意味着在不同时刻，事件发生的速率都是个恒定值。当Poisson过程的强度随时间t 变化时,Poisson过程被推广成为非齐次Poisson过程. 在实际中,非齐次Poisson过程也是比较常用的.例如在考虑设备故障率时,由于设备使用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物
16、质的衰变速度,会因各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等.,47,计数过程N(t),t0称为强度函数为 的非平稳或非齐次泊松过程，如果,定义,48,令 ，计数过程N(t),t0称为强度函数为的非齐次Poisson过程，如果,有独立增量；,等价定义（定理4-6）,(3) 对任意实数t0，s0，N(t+s)-N(t)为具有参数的Poisson分布，即：,称为非齐次Poisson过程的均值函数(或累积强度函数),49,定理 设N(t),t0是一个强度函数为 的非齐次泊松过程， 的反函数，对任意t0，令,非齐次Poisson过程的重要性在于不再要求平稳增量，从而允许
17、事件在某些时刻发生的可能性较之另一些时刻来得大;非齐次Poisson过程与齐次Poisson过程可通过变换相互转化.,则 是一个强度为1的Poisson过程。,转化定理,50,证明： （1） 只需验证定义中的条件14，条件12较显 然，下面验证条件34. 记 ，则,设,则,51,即,同理可得,所以 是参数为 1 的Poisson过程。,52,设N(t), t0是齐次泊松过程，强度为,若给定强度函数,，令,则 是有强度函数为 非齐次泊松过程.,转化定理(2),53,设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。,解
18、 ： 考虑非齐次泊松过程，强度函数,例题,所以，,54,设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。,练习,55,解：将时间5:0021:00平移为016,依题意得乘客到达率为：,乘客到达率与时间关系,56,57,定义：称随机过程X(t),t0为复合Poi
19、sson过程，如果对于t0， X(t)可以表示为其中N(t),t0是一个Poisson过程，Yi , i=1,2,是一族独立同分布的随机变量，并且与N(t),t0也是独立的.,4.3.2 复合Poisson过程,复合Poisson过程不一定是计数过程； 当Yi 为常数时，可化为Poisson过程.,58,例子,到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内的乘客数Yn服从相同分布, 且又彼此统计独立, 各辆车的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的, 则到达体育馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程, 其中：,保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson
20、过程N(t)，每次要求赔付的金额Yi都相互独立，且有同分布F，每次索赔额与发生的时刻无关, 在0,t时间内公司的赔付总额 X(t)是一个复合Poisson过程.,59,设 是一复合Poisson过程，Poisson过程 的强度为 ，则 （1） 有独立增量； （2）若 则,定理,证明：（1）令 ，则由Poisson过程的独立增量性及各 之间 的独立性不难得出 的独立增量性.,60,（2）利用矩母函数方法，有,求导得，,61,设保险公司接到的索赔次数N(t)形成强度为每月2次的Poisson过程, 且设保险公司第i次赔偿额是Yi , Yi , i=1,2, 独立同均值为10000元的正态分布 , 则一年中它要付出的平均金额是多少?,解：0，t内赔偿额 形成复合Poission过程，,一年中它要付出的平均金额是,例题,62,设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周内有2户定居，但每户的人口数是随机变量，一户4人概率为1/6，一户3人概率为1/3，一户2人概率为1/3，一户1人概率为1/6，求5周内移民到该地区的人口的数学期望与方差。,练习,63,则:,64,4.4 更新过程,4.4.1 更新过程的定义 4.4.2 更新函数 4.4.3 更新过程的极限性质 4.4.2 更新方程,65,
