1、2015-2016 学年天津市六校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，M=2，3，4，6，N=1，4，5，则1 ，5等于（ ）AMN BM NC （ UM）N DM UN【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据 1、5M，而且 A 显然不符合条件，从而得出结论【解答】解：1、5M，故排除 B、D ，A 显然不符合条件，故选：C【点评】本题主要考查元素与集合的关系判定，两个集合的交集、补集运算，属于基础题2若b
2、n满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ）A3 B4 C7 D2【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 A（1， 1） ，化目标函数 z=x+2y 为 y= ，由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 3故选：A【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3执行如图的程序框图，那么输出 S 的值是（ ）A2 B C1 D
3、1【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；归纳法；算法和程序框图【分析】框图首先给变量 S，k 赋值 S=2，k=1，然后判断 k2016 是否成立，成立则执行S= ，否则跳出循环，输出 S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S 的值呈周期出现，根据最后当 k=2015 时算法结束可求得 S 的值【解答】解：框图首先给变量 S，k 赋值 S=2，k=1判断 12016，执行 S= =1，k=1+1=2；判断 22016，执行 S= =，k=2+1=3；判断 32016，执行 S= =2，k=3+1=4；判断 42016，执行 S= =1，k=4+1=5；程序依次执行，由上看出，程序每循环 3
4、次 S 的值重复出现 1 次而由框图看出，当 k=2015 时还满足判断框中的条件，执行循环，当 k=2016 时，跳出循环又 2015=6713+2所以当计算出 k=2015 时，算出的 S 的值为此时 2016 不满足 20162016，跳出循环，输出 S 的值为故选：B【点评】本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题4如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 AB=2，BC= ，CAB=120 ，则 AOB 对应的劣弧长为（ ）A B C D【考点】圆周角定理【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和
5、证明【分析】由正弦定理求出 sinACB= ，从而AOB= ，进而 OB= ，由此能求出AOB 对应的劣弧长【解答】解：由正弦定理知：= ， = ，sinACB= = ， ，AOB= ， OB= ，AOB 对应的劣弧长： = 故选：C【点评】本题考查劣弧长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用5在ABC 中，a 、b、c 分别为角 A、B 、C 所对的边，cosA=，b=2，面积 S=3，则 a 为（ ）A B C D【考点】正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】由同角三角函数基本关系可得 sinA，再由面积公式可得 c 值，由余弦定理可得【解答】解：在ABC
6、中 cosA=，sinA= =，b=2，面积 S=3，S=bcsinA，3=2c，解得 c=5，由余弦定理可得 a2=b2+c22bccosA，=b2+c22bccosA=13，即 a= 故选：A【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题6给出下列命题：若 a，b，m 都是正数，且 ，则 ab；若 f（x）是 f（x）的导函数，若 xR，f （x）0，则 f（1）f（2）一定成立；命题“xR，x 22x+10”的否定是真命题；“|x|1，且|y|1”是“|x+y| 2”的充分不必要条件其中正确命题的序号是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【专题】对应思想；
7、定义法；简易逻辑【分析】根据不等式的性质进行判断根据函数单调性和导数的关系进行判断根据含有量词的命题的否定进行判断根据充分条件和必要条件进行判断【解答】解：若 a，b，m 都是正数，且 ，则等价为 ab+bmab+am，即 bmam，则 ba，即 ab；成立，故 正确，若 f（x）是 f（x）的导函数，若xR，f（x）0，则 f（1）f（2）不一定成立，比如 f（x）=3，f（x）=0，满足x R，f（x） 0，但 f（1）=f（2） ，故错误；命题“xR，x 22x+10”的否定是x R，x 22x+10，（x1） 20 恒成立，故正确；若“|x|1，且|y| 1”，则1 x1，1y 1，则
8、2x+y2，即|x+y|2 成立，反之，若 x=3，y= 3，满足|x+y| 2，但|x| 1，且|y| 1 不成立，即“|x| 1，且|y|1”是“ |x+y|2”的充分不必要条件，故正确，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大7已知双曲线 与抛物线 y2=2px（p0）的交点为：A、B，A、B 连线经过抛物线的焦点 F，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C3 D【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由已知条件推导出|AB|=2p=2b，从而得到 A（ ） ，由此能求出双曲线的离心率【解答】解
9、：双曲线 与抛物线 y2=2px（p0）的交点为：A、B，A、B 连线经过抛物线的焦点 F，且线段 AB 的长等于双曲线的虚轴长，|AB|=2p=2b，即 p=b，A（ ） ，把 A（ ）代入双曲线 ，得 ，整理，得：b 2=8a2，c2=a2+b2=9a2，c=3a，e=3故选：C【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线、抛物线的简单性质8已知定义在 R 上的函数，当 x0，2时，f（x）=8（1 |x1|） ，且对任意的实数x2n2，2 n+12（nN *，且 n2） ，都有 f（x）= ，若方程 f（x）=|log ax|有且仅有四个实数解，则实
10、数 a 的取值范围为（ ）A B C （2，10） D2 ，10【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】数形结合；分类讨论；转化法；函数的性质及应用【分析】由 f（x）=|log ax|，分别作出函数 f（x）和 y=|logax|的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：当 x0，2 时，f （x）=8（1 |x1|） ，当 n=2 时，x 2，6，此时10，2，则 f（x）=f（ 1）=8（1| 11|）=4（1 |2|） ，当 n=3 时，x 6，14，此时12，6，则 f（x）=f（ 1）=4（1| |）=2（1| |） ，分别作出函数 f（x）和 y=|logax|的图象，若 0a
11、1，则此时两个函数图象只有 1 个交点，不满足条件若 a1，在（0，1）上两个函数有一个交点，要使方程 f（x）=|log ax|有且仅有四个实数解，则等价为当 x1 时，两个函数有 3 个交点，由图象知当对数函数图象经过 A 时，两个图象只有 2 个交点，当图象经过点 B 时，两个函数有 4 个交点，则要使两个函数有 3 个交点，则对数函数图象必须在 A 点以下，B 点以上，f（ 4）=4，f（10）=2 ，A（4，2） ，B（10，2） ，即满足 ，即 ，解得 ，即 2a 210，a1， a ，故则 a 的取值范围为是（ ， ） ，故选：A【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数零点和
12、方程之间的关系，将条件转化为两个函数交点问题，利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一点的难度二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上）9若复数 的实部和虚部互为相反数，则 b= 【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部和虚部互为相反数求得 b 值【解答】解： ，由题意可得：22b=b+4 ，解得：b= 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题10如果 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式
13、中 的系数是 21 【考点】二项式系数的性质【专题】计算题；二项式定理【分析】先通过给 x 赋值 1 得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为3 得到展开式中 的系数【解答】解：令 x=1 得展开式的各项系数和为 2n2n=128 解得 n=7 展开式的通项为 Tr+1=令 7 =3，解得 r=6展开式中 的系数为 3C76=21故答案为：21【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题11如图，函数 y=x2 与 y=kx（k0）的图象所围成的阴影部分的面积为，则 k= 3 【考点】定
14、积分【专题】计算题【分析】先联立两个解析式解方程，得到积分区间，然后利用积分的方法表示出阴影部分面积让其等于，列出关于 k 的方程，求出解即可得到 k 的值【解答】解：直线方程与抛物线方程联立 解得 x=0，x=k，得到积分区间为0 ，k，由题意得：0k（kxx 2）dx=（x 2x3）| 0k= = =，即 k3=27，解得 k=3故答案为： 3【点评】此题是一道基础题，要求学生会利用积分求平面图形的面积12一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为 15+ 【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得该几何体为以正视图为底面的棱柱，棱柱的高为 1，进
15、而根据柱体的表面积公式得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体为：以正视图为底面的棱柱；高为 1，几何体的表面积为：2（1+1+1+）+（8+ ）=15+ 故答案为：15+ 【点评】本题考查的知识点为：由三视图求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键13圆 O 中，弦 ，则 的值为 【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】过点 O 作 ODBC 交 BC 于点 D，连接 AD则 D 为 BC 的中点， 又 ， ，即可得出【解答】解：如图所示，过点 O 作 ODBC 交 BC 于点 D，连接 AD则 D 为 BC 的中点， 又 ，
16、， = = = = 故答案为：【点评】本题考查了三角形外心性质、向量是三角形法则、平行四边形法则、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14已知实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c0，则 的取值范围为 【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c0，化为 =1，令=cos ， =sin，0 ， 2） 可得 k= = = ，表示点 P（2，0）与圆 x2+y2=1 上的点连线的在的斜率利用直线与圆的位置关系即可得出【解答】解：实数 a，b，c 满足 a2+b2=c2，c 0， =1，令=cos， =sin，0 ，2） k= =
17、 = ，表示点 P（2，0）与圆 x2+y2=1 上的点连线的直线的斜率设直线 l：y=k（ x2） ，则 ，化为 ，解得 的取值范围为 故答案为： 【点评】本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15已知函数 f（x）=2cos 2x+2 sinxcosx1，且 f（ x）的周期为 2（）当 时，求 f（x）的最值；（）若 ，求 的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；转化思想；分
18、析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】 （）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f（x）=2sin（2x+ ） ，由 T=2，利用周期公式可求 ，由 ，可得范围 ，利用正弦函数的图象和性质可得解 f（x）的最值；（）由题意可得 ，解得，利用诱导公式可求 cos（ ）的值，利用二倍角的余弦函数公式即可得解 的值【解答】 （本题满分为 13 分）解：（） = ，（1 分）T=2， ，（2 分） ，（3 分） ， ， ，（4 分） ，（5 分）当 时，f（x）有最小值 ，当 时，f （x）有最大值 2（6 分）（）由 ，所以 ，所以 ，（8 分）而 ，（10 分）所以 ，（12 分）即 （13 分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的图象和性质，诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
