1、云南师范大学附属中学 2016 届高考适应性月考（四）理数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题, 每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）2|4Mx2|log1NxMNA B C D,(0,(,2.设 i 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 a=（ ）aiA-2 B2 C D123.某班级有学生 50 名,现用系统抽样的方法从这 50 名学生中抽出 10 名学生, 将这 50 鼋学生随机编号为 150 号, 并按编号顺序平均分成 10 组(15 号 , 610 号,4650 号),若在第三组抽到的编号
2、是 13 号,则在第七组抽到的编号是( )A.23 B.33 C.43 D.534.已知 中， ， ，D 为边 BC 的中点，则 （ ）AB|616ABC|ADA3 B4 C5 D65.若函数 ， ， ，又 ，()sin3cosfxx0xR1()2fx，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）20f12|2A B C D23436.已知变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是（ 130xy2zxy）A4 B3 C2 D17.执行如图所示的程序框图，则输出的 s 的值为（ ）A2 B3 C4 D58.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A20 B24 C16 D 31602
3、9.数列 是等差数列，若 ，且它的前 n 项和 有最大值，那么当na98anS取得最小正值时，n 等于（ ）SA17 B16 C15 D1410.已知圆 C： ，直线 ，圆 C 上任意一点210xy:34120lxyP 到直线的距离小于 2 的概率为（ ）A B C D163411.过双曲线 的右焦点作直线交双曲线于 A，B 两点，则满足 的直线有213yx |6AB（ ）条A4 B3 C2 D112.已知函数 ，方程 恰有 3 个不同实根，则实数 a 的,()lnxf()0fxa取值范围是（ ）A B C Dln21(,)e(0,)21(,)e(,)2第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5
4、 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设函数 是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，当 时， ，则()fx 30,x()1fx.5()2f14.正方体 的棱长为 3，点 P 是 CD 上一点，且 ，过点1ABCD DP三点的平面角底面 ABCD 于 PQ，点 Q 在直线 BC 上，则 PQ= .1,P15. 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 的面积 ，则 ABC2()Sbca.sin16.点 P 为双曲线 右支上的一点，其右焦点为 ，若直线 的21(0,)xyab2F2斜率为 ，M 为线段 的中点，且 ，则该双曲线的离心率为 .32F2|OFM三、解答题 （本大题共
5、 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知向量 ，(cos,3)xa， ，设函数 的部分图象如图所(3cos,in)2xb0fb示，A 为图象的最低点，B ， C 为图象与 x 轴的交点，且 为等边三角形，ABC其高为 .（1 ）求 的值及函数 的值域；()fx（2 ）若 ，且 ，求 的值.083()5fx012,)30(1)fx18. （本小题满分 12 分）某学生参加 3 个项目的体能测试，若该生第一个项目测试过关的概率为 ，第二个项目、第三个项目测试过关的概率分别为 x，y（ ） ，且不同项目4 是否能够测试过关相互独立，记
6、 为该生测试过关的项目数，其分布列如下表所示：0 1 2 3P 1256a b 1254（1）求该生至少有 2 个项目测试过关的概率；（2）求 的数学期望 .()E19. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是菱形，SABCD，侧面 底面 ABCD，并且 ，F 为 SD 的中06BADSAB2点.（1 ）求三棱锥 的体积；FC（2 ）求直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）如图，过椭圆 内一点2:1(0)xyab的动直线与椭圆相交于 M，N 两点，当平行于 x 轴和垂直于 x 轴时，(0,1)A被椭圆 所截得的线段长均为 .（1 ）求
7、椭圆 的方程；（2 ）在平面直角坐标系中，是否存在与点 A 不同的定点 B，使得对任意过点的动直线都满足 ？若存在，求出定点 B(,)|B的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分 12 分）设函数 ， ，若 是函数 的极值点.ln()12xaf()gxfx1()gx（1 ）求实数 a 的值；（2）当 且 时， 恒成立，求整数 n 的最大值.0ln()1f请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分） 【选修 4-1：几何证明选讲】如图， 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 E，ABC的平分线与 BC 相交
8、于点 D，求证：（1 ） ；E（2 ） .DE23. （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中，圆 C 的参数方程为 ，xOy52cos3inxty（t 为参数） ，在以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 ，A，B 两点的极坐标分别为 .cos()24(,),2AB（1 ）求圆 C 的普通方程和直线的直角坐标方程；（2 ）点 P 是圆 C 上任一点，求 面积的最小值.P24. （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 .()|2|fx（1 ）解不等式： ；1)()4ffx（2）已知 ，求证：
9、 恒成立.a,()2Rafx云南师大附中 2016 届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B C A D B A C D B A【解析】1 ，故选 C2(02(02MNMN， ， ， ， ，2 是纯虚数， ， ，故选 Di(i)1)i55aa10a 12a3抽样间隔为 ，由系统抽样的特点，可得所抽编号成等差数列，由等差数列性质知10，故选 B734a4 ，即 222,()4ABCDACD 22ABCA， ，故选 C()10|55
10、因 为 的 最 小 值 为 ， 所 以 ， 所 以 ，12sin|3fxxx， 342T6T13故 选 A6作出可行域如图 1 中阴影部分，目标函数过点 时，最小值为 1，故选 D(01)，7由程序框图知，输出的结果为 ，当 时，23logl4log(1)ks2log(1)k7，故选 B3s8该几何体为一个正方体截去三棱台 ，如图 2 所示，截面图形为等腰梯形1AEFBD， ，梯形的高 ，所以1BDFE1125BDE， ， 1325h，1 39()2S梯 形所以该几何体的表面积为 20，故选 A9 数列 的前 n 项和有最大值， 数列 为递减数列，又 ， nana981a且 ，又890 ， 8
11、90a，故当 时， 取得最15 1615 1689()()()022SS， 5nnS小正值，故选 C10圆 C： ，圆心 ，半径 ，因为圆心到直线的距离是 3，所以2()xy(0)， r圆上到直线距离小于 2 的点构成的弧所对弦的弦心距是 1，设此弧所对圆心角为 ，则 ，所以 ，即 ， 所对的弧长为 ，所以所1cos422求概率为 ，故选 D211当直线 l 的倾斜角为 时， ；当直线 l 的倾斜角为 时， 故当90|6AB0|26AB直线 l 适当倾斜时，还可作出两条直线使得 ，故选 B|612当直线 与曲线 相切时，设切点为 ，切线斜率为 ，则切yaxlnyx0(ln)x， 01kx线方程
12、为 ，切线过点 ， ，此时 ；001l()， 001e2 ， ea当直线 过点 时， 结合图象知 ，故选 Ayax2ln， ln2al2a，第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16答案 322817312【解析】13 511332ffff14如图 3，设 PQ 与 AD 交 于 点 M， 则 DPMCPQ， ， ， 又12PQMDPMDCA， ， 123AC ， 15由余弦定理 ，222cos cosbcaAbcabA， ，又 ，222() (1)Sba sin2Sbc， ，1cssinc cossin4A即 22
13、18oi i14 7A A， ， 16由题意得： ，设左焦点为 ，连接 ，22| 0|3OFMcOFMc， ， 1F1P则 OM 为 的中位线， ，又 ，由双曲线定义，得1P 1|3Pc 2PF12 1|(3)aae， ， 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 12 分）解：（）由已知可得，2 ()36cos3sin3cosin23sixfxabxxxxA由正三角形 ABC 的高为 ，可得 ，4BC所以函数 的最小正周期 ，即 ，()f 28T得 ， （4 分）4故 ，()23sinxfx所以函数 的值域为 （6 分）f23，（）因为 ，08()5
14、x由（）有 ，即 ，0sin43xf04sin35x由 ，得 ，0123x， 2，所以 ，0cos45故 0 00(1)23sin23sin443xxfx 00icos （12 分）43766518 （本小题满分 12 分）解：（）设事件 表示“该生第 i 个项目测试过关”，iA123i， ， ，依题意， ，1234()()()5PxPy， ，因为04(3)5yx，所以 即 且 ，161245yx， 1,625xyxy解得 （4 分）325y，于是， 123123123()()()()aPAPA，43575，64581(0)()()b故该生至少有 2 个项目测试过关的概率： （8 分）5842
15、(3)15P或（） 90()(1)(2)3()5EPP（12 分）19 （本小题满分 12 分）解：（）如图 4，取 AB 的中点 E，连接 SE，ED，过 F 作 交 ED 于 G，SE因为平面 ，并且SABCD平 面 2SAB， ，E 平 面 FG 平 面又 ABCD 是菱形， ， ，603且 ， ， 132FGS12sin0ACD三棱锥 SFAC 的体积 SFSACDFACDVV三 棱 锥 三 棱 锥 三 棱 锥 （6 分）3ACDV三 棱 锥（）连接 AC，BD 交于点 O，取 AB 的中点 E，连接 SE，则 ， ，BDACSEB以 O 为原点，AC，BD 为轴建系如图 5 所示，设
16、直线 BD 与平面 FAC 所成角为 ，则 ， ， ，(30)A， ， (30)C， ， (10)B， ， ， ，1D， ， 12S， ， 342F， ，所以， ， ，4F， ， (0)A， ，设平面 FAC 的法向量为 ，(1)nxy， ， ，31302Anxy 23Cnx得 ， （8 分）(0)， ，又 ， （10 分）BD， ，所以 ，439sin|co,|12B故直线 BD 与平面 FAC 所成角的正弦值为 （12 分）23（说明：以 E 点为原点，AB，ED，ES 为 x，y，z 轴建系，可参照给分 ）20 （本小题满分 12 分）解：（）由已知得 ，点 在椭圆上，2b(1)，所以
17、，解得 ，21aa所以椭圆 的方程为 （4 分）214xy（）当直线 l 平行于 x 轴时，则存在 y 轴上的点 B，使 ，设|MANB；0()By，当直线 l 垂直于 x 轴时， ，(02)(2)MN， ， ，若使 ，则 ，|ANB|A有 ，解得 或 0|2|1y01y02所以，若存在与点 A 不同的定点 B 满足条件，则点 B 的坐标只可能是 (02)，（6 分）下面证明：对任意直线 l，都有 ，即 |MAN|MAN当直线 l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的方程为 1ykx设 M， N 的坐标分别为 ，12()()xy， ， ，由 得 ，24
18、1xyk， 240kk其判别式 ，22()8(1)所以， ，1 2xxkk，因此， 1212易知点 N 关于 y 轴对称的点 的坐标为N2()xy， ，又 ，111BMkxk，2221N kx 所以 ，即 三点共线，BMNk ， ，所以 12| |xAMN故存在与点 A 不同的定点 ，使得 (0)B， |BANMB（12 分）21 （本小题满分 12 分）解：（） ，221()ln1()2xagxf x依题意， ，10据此， ，解得 （4 分）22()ln10a2a（）由（）可知 ，ln1()xf由 ，得 ，ln()1xf于是 对 且 恒成立，22l(ln1)1x 0x1令 ，则 ，再次求导
19、，2()lnhxx)h2()0hx若 ，可知 在区间 上递减，有 ，1()(， ()可知 在区间 上递减，有 ，()， )10xh而 ，20x则 ，1()h即 ；22ln1)0xx若 ，可知 在区间 上递增，有 ，0(h(1)， ()10hx可知 在区间 上递减，有 ，而 ，()h)， (0hx2则 ，即 21x221(ln)x故当 恒成立时，只需 ，又 n 为整数，(ln)n (n，所以，n 的最大值是 0 （12 分）22 （本小题满分 10 分） 【选修 41：几何证明选讲】证明：（）ADE= ABD+BAD，DAE=DAC+ EAC，而ABD=EAC，BAD=DAC，ADE=DAE， （5 分）EAD（） BCAE， ， ，AE，又 ，C DAC，即 ，DB EBA由（）知 ， （10 分）A23 （本小题满分 10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】解：（）由 52cos3inxty，得 52cosixty，消去参数 t，得 ，22(5)()xy
