1、1 多元函数全微分的逆运算。 可分离变量 、 解 将方程写成 左端是全微分式 xyyx dd方程变成 通解 Cxy 齐次方程。 )(d xy0 ) ( d xy 0dd xyyx 2.3 全微分方程 求解 xyy 2 1.全微分方程的定义 设 ),( yxFu 是一个连续可微的二元函数 ,则 dyy yxFdxx yxFyxdFdu ),(),(),(若 0),(),( dyy yxFdxx yxF则有 CyxF ),(这是一大类可求解的微分方程 . 3 则称 为全微分方程。 若连续可微的二元函数 使得 ),( yxFdyyxNdxyxMyxdF ),(),(),( 0),(),( dyyxN
2、dxyxMCyxF ),(此时，全微分方程 的解为 0),(),( dyyxNdxyxM4 例如 ,下列方程都是全微分方程 : 0 yd yx d x0)2()3( 322 dyxyxdxyyx0)()( dyygdxxf因为函数 221 ),( yxyxF 232 ),( xyyxyxF dyygdxxfyxF )()(),(3的全微分就分别是这三个方程的左端 , 他们的解分别是 )3,2,1(),( iCyxF i5 但并不是所有的方程都能方便地找到对应的 的函数 ,或者这样的 ),( yxF ),( yxF 就不存在 . 所以我们有三个问题需要解决 : (1)方程是否就是全微分方程 ;
3、(2)若方程是全微分方程 ,怎样求它的解 ; (3)若方程不是全微分方程 ,有无可能 将它转化为一个全微分方程来求解 ? 6 是全微分方程的充要条件为 : ( , ) ( , )M x y N x yyx （ 2.3.3) 证明：一 .先证必要性 2.方程为全微分方程的充要条件 0),(),( dyyxNdxyxM设 0),(),( dyyxNdxyxM是全微分方程 ,则有函数 使得 ),( yxF中连续且有连续的一阶偏导数，则 定理 2.1 设函数 ( , )M x y 和 ( , )N x y 在一个矩形区域 R7 故 ( , ) ( , )M x y N x yyx 成立。 dyy yx
4、Fdxx yxFyxdF ),(),(),(dyyxNdxyxM ),(),( 故有 yyxFyxNxyxFyxM ),(),(,),(),(计算 ),( yxF 的二阶混合偏导数 : 2 ( , )F x yyx ,),(yyxMxyxN ),(yxyxF ),(2由于 M(x,y)和 N(x,y)有连续一阶偏导数 , 从而有 yxyxF ),(22 ( , )F x yyx8 0( , ) ( , ) ()xxF x y M s y d s yyy 0( , ) ()xxN s y d s ys 二 .再证充分性 0),(),( dyyxNdxyxM构造函数 满足 ),( yxF( , )
5、 ( , )M x y N x yyx 设 满足 ),(),( yxNyxM取 )(),(),(0ydsysMyxF xx 待定，对上式关于 y求偏导数得 )(y( , ) ( , )M x y N x yyx 0( , ) ( , ) ( )N x y N x y y 在矩形 R中取一点 ),(00 yxP令 是 R的一个动点， ),( yxP9 令 0 0( ) ( , )yyy N x s d s 所有与 ( , )F x y 相差一个常数的函数都满足 则找到一个满足 的函数 dyyxNdxyxMyxdF ),(),(),( dyyxNdxyxMyxdF ),(),(),( 00 0(
6、, ) ( , ) ( , )xyF x y M s y d s N x s d sdyyxNdxyxMyxF yx yx ),(),(),( ),( ),(00 这种方法称为线积分法 . 0( , ) ( , ) ( )N x y N x y y yyxF ),()(),(),(0ydsysMyxF xx 10 例：验证方程 2( c o s 2 ) ( s i n 2 ) 0yyy x x e d x x x e d y 是全微分方程，并求它的通解。 2( , ) s i n 2yN x y x x e 3.全微分方程的积分 由于 ( , ) c o s 2 yM x y y x x e解
7、： 当一个方程是全微分方程时 ,我们有三种解法 . (1) 线积分法 : dyyxNdxyxMyxF yx yx ),(),(),( ),( ),(00 dssxNdsysMyxF yyxx 00),(),(),( 0或 11 2s i n 2yy x x e y 00( c o s 2 ) 2xy yy s s e d s d s 故通解为 2s i n 2yy x x e y C yx dssNdsysMyxF 00 ),0(),(),(其中 C 为任意常数 ( , ) ( , )M x y N x yyx 所以方程为全微分方程。 ,2c o s),( yxexy yxM yxexx yx
8、N 2c o s),( 12 (2)偏积分法 的通解 . 例：求方程 0)s in2()( dyyxdxye x由于 解： yeyxM x ),( yxyxN s in2),( xyxNyyxM ),(1),(假设所求全微分函数为 ),( yxF ,则有 ),(),( yxMyex yxF x ),(s in2),( yxNyxy yxF 求 ),( yxF13 )()(),( yyxedxyeyxF xx 而 yxy yxF s in2),( 即 yxyx s in2)( 从而 yy s in2)( yy c o s2)( 即 CyxyeyxF x c o s2),(14 解 : 偏 积分
9、法 yxxF 2 xyx 2 yFyy 4)( ,2)( 2yy 原方程的通解 : Cyxyx 22 2)( yx yx 4)(y xyxyxF d)2(),( .0d)4(d)2( 的通解求方程 yxyxyx15 例：验证方程 22( c o s s i n ) ( 1 ) 0x x x y d x y x d y 是全 微分方程，并求它满足初始条件： 的解。 (0 ) 2y 所以方程为全微分方程。 由于 21c o s sin ( sin )2x x d x d x2 2 2 21()2x y d x y x d y d x y21()2y dy d y解： 2MN xyyx 由于 (3)
10、凑微分法 16 方程的通解为： 2 2 2 2s i n x x y y c 利用条件 (0 ) 2y 得 4c最后得所求初值问题得解为： 2 2 2s i n ( 1 ) 4x y x 根据二元函数微分的经验 ,原方程可写为 0)(s i nc o s 22 y d ydyyxdxxyx d xx17 xxd2)(d0)2(d 22 yxyx通解： Cyxyx 22 2解 : 分组凑全微分法 )(d )(d 0yyd4 0 )dd( yxxy 2x 22y xy.0d)4(d)2( 的通解求方程 yxyxyx18 .0d3d2 4223 的通解凑全微分法求方程 yyxyxyx解 46yxyM
11、 是 全微分方程 将左端重新组合 yyd12Cyxy 321原方程的通解： )1(d 32yxy )d3d2( 423 yyxxyx xN d dy1 32yx19 .1dd32的通解求方程 x yxxxy 通解：d d112d11Cxxy xxxx ee 一阶线性方程 Cxxxyy 4343解 整理 : 21 1dd xyxxy 法一 ,1 xNyM .是全微分方程法二 整理 : .0d)1(d)( 32 yxxyxx20 （ 1）偏 积分 法 yxxxF 32 xyxx 4343 yF1)( y ,)( yy 原方程的通解 : Cyxyxx 43430d)1(d)( 32 yxxyxx)(
12、 yx x 1)(y xyxxyxF d)(),( 32 21 （ 2）凑全微分法 ydyd0)43(d43 yxyxx)dd( xyyx xxx )d( 32 0)(d )d( 0原方程的通解 : Cyxyxx 4343xy33x44x0d)1(d)( 32 yxxyxx22 若一个方程不是全微分方程， 我们可以用积分因子法将其变为全微分方程。 4.积分因子 例 : 求方程 0)42( 2 x d ydxxy解： 242),( xyyxM xyxN ),(2),( y yxM 1),( x yxN故该方程不是全微分方程 ,对该方程两边 同时乘以 x 后得 : 0)42( 23 dyxdxxx
13、y23 由于 xxxyxxy 22 2)42(利用凑微分的方法可得通解为 : Cxyx 42如果有函数 ),( yxu 使方程 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0u x y M x y d x u x y N x y d y是全微分方程。则 一个积分因子。 ( , )u x y 称为方程的 0)42( 23 dyxdxxxy24 观察法 凭观察凑微分得到 ),( yx 常见的全微分表达式 ，)2d(dd22 yxyyxx ，)d(dd 2 xyx xyyx ),ar c t a nd(dd 22 xyyx xyyx ；xyxy xyyx lnddd ；)l n(d21dd 22
14、22 yxyx yyxx .lnd21d22 yx yxyx xyyx 可选用积分因子 .,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx 25 例 :验证 是方程 xyxu ),( 0)( 2 x y d ydxxy的积分因子 ,并求它的通解 . 解： 对方程两边同乘以 后得 x0)( 222 y d yxdxxxy由于 xyxxyyxxy 222 2)(故该方程是全微分方程 , 是一个 利用凑微分的方法可得通解为 : xyxu ),(积分因子 , Cxyx 322 312126 例 :验证 2( , )u x y x y 是方程 22( 3 4 ) ( 2 3 ) 0y x y
15、d x x x y d y 的一个积分因子，并求其通解。 解：对方程有 232 126 yxyxxuNyuM 对方程两边同乘以 2xy 后，再利用凑微分法 2 2 3 3 3 4 23 2 4 3 0x y d x x y d y x y d x x y d y 3 2 2 2 3( ) 3 2d x y x y d x x y d y4 3 3 3 4 2( ) 4 3d x y x y d x x y d y 通解为 : Cyxyx 342327 .0d)1(d2 223 的通解 yyxxxy 求方程 解 不是全微分方程 . 将方程两端重新组合 , 0d)dd2( 223 yyyxxxy2
16、1),(yyx 观察法 , 积分因子 原方程 0ddd2 22223yyyyyxxxyyxxxy dd2 2 ，0d2 yy)( 2 yx，Cyyx 12)1(d y ，0也是解。另 0y28 .0d)1(dln2 222 的通解 yyyxxyxy解 将方程两端重新组合 , 0d1 22 yyy求方程 不是全微分方程 . 0d1)ddln2( 22 yyyyyxxyx,1),( yyx 积分因子 , )ln(d 2 yx 0)1(d31 232 y原方程的通解 : .)1(31ln 2322 Cyyx yxxyxy ddln2 229 从上面的例子可看出 ,当确定了积分因子后 , 很容易求出其通解 ,但问题是 : (1) 积分因子是否一定存在 ? (2) 如何求积分因子 ? 这两个问题是十分困难的问题 ,一般来说无法 给出答案 ,但对一些特殊的函数或方程是可以给出 一些充分条件的 . 30 ( , ) ( , )()( , )M x y N x yyxN x y定理 2.2 微分方程 0),(),( dyyxNdxyxM有一个仅依赖 的积分因子得充要条件是 : 于 x有关； x仅与 因子得充要条件是 同理，方程有一个仅依赖于 的积分 y( , ) ( , )()( , )N x y M x yxyM x y 仅与 y 有关。
