1、1圆锥曲线第 1 课时椭圆与双曲线的几何性质班别 姓名 学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆 双曲线定义 1到两定点 F1、F 2 的距离的和等于常数 2 a(2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫椭圆。即 | M F1 | + | M F 2 | = 2 a定点 F1、F 2 叫焦点，| F 1F2| 叫焦距。到两定点 F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a (2 a 1)的动点 M 的ac轨迹叫双曲线。定点 F1 叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线， e 叫做双曲线的离心率。标准方程 2byax(a b 0 )2bxay(a b 0 )2byax(a 0
2、, b 0 )2bxay(a 0 , b 0 )判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做 a 2，焦点在相应字母的坐标轴上。 （a 一定大于 b ） （焦点始终在长轴所在的直线上）x 2 项的系数为“+” ，则焦点在 x 轴上，相应的项的分母为 a 2；y 2 项的系数为“+” ，则焦点在 y 轴上，相应的项的分母为 a 2。 （ a 不一定大于 b ） （焦点始终在实轴所在的直线上）图形范围 - a x a - b y b - b x b - a y a x - a 或 x a y - a 或 y a顶点坐标 (a , 0 ) , (0 , b ) (b , 0 ) , ( 0 , a ) (a
3、, 0 ) (0 , a )焦点坐标 (c , 0 ) 焦距长 2 c c 2 = a 2 b 2 ( 0 ,c ) 焦距长 2 cc 2 = a 2 b 2 (c , 0 ) 焦距长 2 cc 2 = a 2 + b 2 ( 0 , c ) 焦距长 2 cc 2 = a 2 + b 2轴 长轴长| A 1 A 2 | = 2 a ，短轴长| B 1 B 2 | = 2 b 实轴长| A 1 A 2 | = 2 a，虚轴长| B 1 B 2 | = 2 b对称性 关于 x 轴、y 轴、原点对称 关于 x 轴、y 轴、原点对称离心率 （ 0 1 ）ac2准线方程 x = ca2y = ca2x
4、= ca2y = ca2渐近线方程 y =by = xb通径长 ab2 a2练习 1、椭圆与双曲线方程特征1、已知方程 ， （1）若方程表示的图形是圆，则 k 的取值范围是_；22kyx（2）若方程表示的图形是椭圆，则 k 的取值范围是_；（3）若方程表示的图形是双曲线，则 k 的取值范围是_。2、若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )R3132kyx（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 .（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. （06 年上海春季）3、若点 M 到两定点 F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于 2，则点的轨迹是（ ）(A)
5、 双曲线 (B) 双曲线的一支 (C) 两条射线 (D) 一条射线 4、若点 M 到两定点 F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于 2，则点的轨迹是（ ）(A) 椭圆 (B) 直线 F 1 F 2 (C) 线段 F 1 F 2 (D) F 1 F 2 的中垂线 5、已知圆锥曲线 m x 2 + 4 y 2 = 4 m 的离心率 e 为方程 2 x 2 5 x + 2 = 0 的两根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6、已知三点 P(5,2）, (6,0), (6,0） ， （）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标
6、准方程；1F21F2（）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点2 P21F2的双曲线的标准方程。 （06 年江苏）3练习 2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆 ，请填写下表：1562yx长轴长 短轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程8、已知椭圆 ，请填写下表：2156xy长轴长 短轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程9、已知双曲线 ，请填写下表：1256xy实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程 渐近线方程10、已知双曲线 ，请填写下表：2165xy实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程 渐近线方程练习 3、双曲线中与渐近线有
7、关的问题（1）由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程 右边常数 1 换成 0，则2xyab并化简可得到渐近线方程.20xyab（2）若已知渐近线方程为 ，变形得 ，则可设双曲线方程为 ，myxnyxn2(0)xynm其中 为待定系数.若能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为 （焦点在2()x 轴上）或 （焦点在 y 轴上）2(0)yxmn. 4（3）与 共渐近线双曲线的方程可设为 .21xyab2(0)xyab11、与双曲线 有共同渐近线，并且过点 M (3 , 2 )的双曲线的一个焦点到一条渐近692线的距离是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 12、焦点为
8、F ( 0 , 10 )，渐近线为 4 x + 3 y = 0 的双曲线方程为 _ 13、焦距为 10，渐近线为 x2 y = 0 的双曲线方程为_ 练习 4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03 年北京)直线 过椭圆的左焦点 和一个顶点 B，该椭圆的离心率为（ 02:yxl 1F）A. B. C. D. 5125515、在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该双曲线221的离心率为（ ）(A) (B)2 (C) (D)2216、过双曲线 (a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点，21xy以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点
9、，则双曲线的离心率等于_17、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）(05 年全国卷 III)5（A） （B） （C） （D）22122118、双曲线的中心在原点，实轴长为 4，一条准线方程是 x = ，则双曲线的离心率是_119、已知双曲线 的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为（ ） （06 年全国卷xa yb 1 43II）（A） (B) (C) (D)53 43 54 3220、已知双曲线 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等932yx于（ ）
10、A. B. C. 2 D.4 （2006 年广东卷）321、已知 a b 0，e 1 , e2 分别为圆锥曲线 和 的离心率，则 lg e1 +lg e2 的值12byax12byax（ ）(A) 一定是正数 (B) 一定是负数 (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正确 练习 5、利用椭圆的第一定义，求焦点三角形的边长、周长和面积22、已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 y 21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个x3焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是（ ） （2006 年全国卷 II）（A）2 （B） 6 （C）4 （D）123 322、已知双曲线的实轴长为 2 a，AB
11、 为左支上过焦点 F 1 的弦，| AB| = m ，F 2 为双曲线的另一个焦点，则ABF 2 的周长是_ 23、如图，把椭圆 的长轴 分成2156xyAB等份，过每个分点作 轴的垂线交8x椭圆的上半部分于 七个点，134567,PP是椭圆的一个焦点，6则 _1234567PFPFPF（06 年四川卷）24、若双曲线 (a 0 , b 0 )与椭圆 ( m n 0 )有相同的焦点 F 1 , F 2，P 是12yx 12yx两曲线的一个交点，则| P F 1 | P F 2 | 等于（ ）(A) m a (B) ( m a ) (C) m 2 a 2 (D) 2 a25、椭圆的焦点 F 1,
12、 F 2 在 x 轴上，焦距为 2 ，椭圆上的点到两焦点的距离之和为 8，15（1）求椭圆的标准方程； （2）设点 M 在椭圆上，且 求F 1MF2 的面积。120,26、已知双曲线 的焦点为 F1、F 2，点 M 在双曲线上且 则点 M 到 x 轴的2yx 120,F距离为（ ）（A） （B） （C ） （D） (05 年全国卷 III) 答案：435333（C）7圆锥曲线第 1 课时椭圆与双曲线的几何性质班别 姓名 学号一、椭圆与双曲线的标准方程与性质椭圆 双曲线定义 1到两定点 F1、F 2 的距离的和等于常数 2 a(2 a | F1F2| )的动点 M 的轨迹叫椭圆。即 | M F1
13、 | + | M F 2 | = 2 a定点 F1、F 2 叫焦点，| F 1F2| 叫焦距。到两定点 F1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a (2 a 1)的动点 M 的ac轨迹叫双曲线。定点 F1 叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线， e 叫做双曲线的离心率。标准方程 2byax(a b 0 )2bxay(a b 0 )2byax(a 0 , b 0 )2bxay(a 0 , b 0 )判断焦点位置方法谁的分母大，谁就做 a 2，焦点在相应字母的坐标轴上。 （a 一定大于 b ） （焦点始终在长轴所在的直线上）x 2 项的系数为“+” ，则焦点在 x 轴上，相应的项的
14、分母为 a 2；y 2 项的系数为“+” ，则焦点在 y 轴上，相应的项的分母为 a 2。 （ a 不一定大于 b ） （焦点始终在实轴所在的直线上）8图形范围 - a x a - b y b - b x b - a y a x - a 或 x a y - a 或 y a顶点坐标 (a , 0 ) , (0 , b ) (b , 0 ) , ( 0 , a ) (a , 0 ) (0 , a )焦点坐标 (c , 0 ) 焦距长 2 c c 2 = a 2 b 2 ( 0 ,c ) 焦距长 2 cc 2 = a 2 b 2 (c , 0 ) 焦距长 2 cc 2 = a 2 + b 2 ( 0
15、 , c ) 焦距长 2 cc 2 = a 2 + b 2轴 长轴长| A 1 A 2 | = 2 a ，短轴长| B 1 B 2 | = 2 b 实轴长| A 1 A 2 | = 2 a，虚轴长| B 1 B 2 | = 2 b对称性 关于 x 轴、y 轴、原点对称 关于 x 轴、y 轴、原点对称离心率 （ 0 1 ）ac准线方程 x = c2y = ca2x = c2y = ca2渐近线方程 y = aby = xb通径长 ab2 2练习 1、椭圆与双曲线方程特征1、已知方程 ， （1）若方程表示的图形是圆，则 k 的取值范围是_；22kyx（2）若方程表示的图形是椭圆，则 k 的取值范围
16、是_；（3）若方程表示的图形是双曲线，则 k 的取值范围是_。答案：（1） （2）1 232、若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的( )Rk3k132kyx（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件 .（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. （2006 年上海春卷）答案： A3、若点 M 到两定点 F 1 (1 , 0 ) , F 2 ( 1 , 0 )的距离之差等于 2，则点的轨迹是（ ）9(A) 双曲线 (B) 双曲线的一支 (C) 两条射线 (D) 一条射线 答案：(D)4、若点 M 到两定点 F 1 ( 0 , 1 ) , F 2 ( 0 , 1 )的距离之和等于 2，则点
17、的轨迹是（ ）(A) 椭圆 (B) 直线 F 1 F 2 (C) 线段 F 1 F 2 (D) F 1 F 2 的中垂线 答案：(C)5、已知圆锥曲线 m x 2 + 4 y 2 = 4 m 的离心率 e 为方程 2 x 2 5 x + 2 = 0 的两根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）条(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答案：(C)解：易知 e = 2 或 ，由 e = 2 得焦点在 x 轴上的双曲线一条，由 得焦点在 x 轴上的椭圆1 1e一条或焦点在 y 轴上的椭圆一条，选(C)6、已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0）.1F2F（）求以 、 为焦点且过点 P
18、 的椭圆的标准方程；2（）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且1 P1F21F2过点 的双曲线的标准方程。 （06 年江苏）解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为 (ab0),其半焦距 c=62ab ,b2=a2-c2=9.2212165aPF3所以所求椭圆的标准方程为 1459xy（2）点 P(5,2)、F 1(-6,0)、F 2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P， (2，5)、F 1， (0，-6)、F 2， (0，6).设所求双曲线的标准方程为 由题意知，半焦距 c1=611(0,)xyabb22122 45aP,b12=c12-a
19、12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为15 2106xy10练习 2、椭圆与双曲线的几何性质7、已知椭圆 ，请填写下表：1562yx长轴长 短轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程10 8 6 ( 0 , 3 ) 53y = 3258、已知椭圆 ，请填写下表：2156xy长轴长 短轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程10 8 6 (3 , 0) 53x = 3259、已知双曲线 ，请填写下表：1256xy实轴长 虚轴长 焦距 焦点坐标 离心率 准线方程 渐近线方程8 102 4(0 , )41416yxy5410、已知双曲线 ，请填写下表：2165xy实轴长 虚轴长 焦距 焦点
20、坐标 离心率 准线方程 渐近线方程8 102 4( , 0) 41164x54yx练习 3、双曲线中与渐近线有关的问题（1）由双曲线方程求渐近线方程步骤：把双曲线的标准方程 右边常数 1 换成 0，则2xyab并化简可得到渐近线方程.20xyab11（2）若已知渐近线方程为 ，变形得 ，则可设双曲线方程为 ，myxnyxn2(0)xynm其中 为待定系数.若能判断焦点的位置时，可进一步设双曲线方程为 （焦点在2()x 轴上）或 （焦点在 y 轴上）. 2(0)yxmn（3）与 共渐近线双曲线的方程可设为 .21ab2(0)xyab11、与双曲线 有共同渐近线，并且过点 M (3 , 2 )的双
21、曲线的一个焦点到一条渐近692yx线的距离是（ ）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 答案： (C)（晨练题十二练习 4）12、焦点为 F ( , 0 )，渐近线为 y =3 x 的双曲线方程为_答案： （051 192yx年上海） (同步44 页练习 6)解：设所求的双曲线方程为 ，即 ，+ 9= 10 ， = 192x12y 所求的双曲线方程为 12y12、焦点为 F ( 0 , 10 )，渐近线为 4 x + 3 y = 0 的双曲线方程为 _ 答案： （晨13642xy练题十二练习 1）解：设所求的双曲线方程为 ，即 ， 16+ 9= 100 ， = 4962y162x 所
22、求的双曲线方程为 即412x32y1213、焦距为 10，渐近线为 x2 y = 0 的双曲线方程为_ 答案： 或1520yx1205xy解：（1）当焦点在 x 轴上时，设所求的双曲线方程为 ，即24yx142yx 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为 ，即42y1502x（2）当焦点在 y 轴上时，设所求的双曲线方程为 ，即42xy142xy 4+= 25 ， = 5 所求的双曲线方程为 ，即42xy1205x练习 4、求椭圆与双曲线的离心率。14、(03 年北京)直线 过椭圆的左焦点 和一个顶点 B，该椭圆的离心率为（ 02:yxl 1F）A. B. C. D. 5125515、在
23、给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 ，则该双曲线221的离心率为（ ）(A) (B)2 (C) (D)222(06 年山东文科)（五年131 页练习 2） 答案：(C)13解： 212cab由得 ab由得 = 212c2bc得 ae16、过双曲线 (a0，b0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点，21xy以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_(05 年浙江) （五年131 页练习 12） 答案：2解：易知MNA 为等腰直角三角形，且MAN 为直角 = b 2 = a 2 + a c = c 2 a 2 = a 2
24、+ a ccab2= c 2 a c 2 a 2 = 0 = e 2 e 2 = 0= ( e 2 ) ( e + 1 ) = 0 = e = 217、设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）(05 年全国卷 III)答案：（D）（A） （B） （C） （D）2218、双曲线的中心在原点，实轴长为 4，一条准线方程是 x = ，则双曲线的离心率是_1答案：419、已知双曲线 的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为（ ） （06 年全国卷xa yb 1 43II）答案： (A )（A） (
25、B) (C) (D)53 43 54 321420、已知双曲线 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等932yx于（ ）A. B. C. 2 D.4 （2006 年广东卷）答案：C221、已知 a b 0，e 1 , e2 分别为圆锥曲线 和 的离心率，则 lg e1 +lg e2 的值12byax12byax（ ）(A) 一定是正数 (B) 一定是负数 (C) 一定是零 (D) 以上答案均不正确 答案：(B)解： ， abe21ae22 14424221 abb lg e 1 +lg e2 = lg e1 e2 0 , b 0 )与椭圆 ( m n 0 )有相
26、同的焦点 F 1 , F 2，P 是12yx 12yx15两曲线的一个交点，则| P F 1 | P F 2 | 等于（ ）(A) m a (B) ( m a ) (C) m 2 a 2 (D) 答案：(A)2 a25、椭圆的焦点 F 1, F 2 在 x 轴上，焦距为 2 ，椭圆上的点到两焦点的距离之和为 8，15（1）求椭圆的标准方程； （2）设点 M 在椭圆上，且 求F 1MF2 的面积。 （10 分）120,解：（1）设椭圆的标准方程为 ( a b 0 ) （1 分）2yx由题意知，a = 4（2 分） , c = （3 分） , 则 b 2 = a 2 c 2 = 16 15 = 1
27、（4 分）15 椭圆的标准方程为 （5 分）62yx（2）解法 1：设 M ( x , y )， F 1 ( , 0 )，F 2 ( , 0 )15则 = ( ，y ) , = ( ，y ) （6 分）F52x = ( )( ) + y 2 = x 2 15 + y 2 = 0（7 分）12x5（8 分） = （9 分）62yx1 | F 1 F 2 | = 2 F 1MF2 的面积 S = = 1（10 分）5 52（2）解法 2： MF 1MF 2（6 分）120,M MF 1+ MF 2 = 8 （7 分） MF 12 + MF 22 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 12 + MF 22 = （8 分）5 60 + 2 MF 1 MF 2 = 64 MF 1 MF 2 = 2 （9 分） F 1MF2 的面积 S = MF 1 MF 2 = 1 （10 分）26、已知双曲线 的焦点为 F1、F 2，点 M 在双曲线上且 则点 M 到 x 轴的2yx 120,F16距离为（ ）（A） （B） （C ） （D） (05 年全国卷 III) 答案：4353233（C）17
