1、8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系,一z平面与s平面的映射关系 二z变换与拉氏变换表达式之对应,返回,至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 相转化。在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。,一z平面与s平面的映射关系,在引入z变换的定义时，引入符号z=esT,式中T是序列的时间间隔，重复频率ws=2p/ T,sz平面映射关系,这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部s ；z的幅角q仅对应于s的虚部w 。,s平面(s=s +jw ),z平面(z= r
2、ejq ),原点 (s = 0,w = 0),z=1,（2）s平面上的虚轴（s =0，s =jw）映射到z平面是单位圆；s平面的左半平面（s 0）映射到z平面是单位圆的圆内；,s平面的右半平面（s 0）映射到z平面是单位圆的圆外；平行于虚轴的直线（s =常数）映射到z平面是圆。,s平面(s=s +jw ),z平面(z= rejq ),虚轴 (s =0, s=jw),单位圆 （r=1,q 任意）,左半平面 （s 0）,单位圆内 （r1,q 任意）,右半平面 （s 0）,单位圆外 （r1,q 任意）,平行于虚轴 的直线 （s = 常数: - + ）,圆 （ s 0 ，r1 s 0 ，r1 r为常数
3、:0+ q 任意）,（3）s平面上的实轴（w =0，s =s ）映射到z平面是正实轴；平行于实轴的直线（w =常数）映射到z平面是始于原点的辐射线； 通过jkws/2(k= +1,+3,)而平行于实轴的直线映射到z平面是负实轴。,s平面(s=s +jw ),z平面(z= rejq ),实轴 (w =0, s= s),正实轴 （q =0， r任意）,平行于实轴 的直线 （w =常数）,始于原点的 辐射线 （q =常数， r任意）,通过+ jkws/2 平行于实轴 的直线 （k=1,3.）,负实轴 （q =p， r任意）,（4）由于z=rejq是q=wT的周期函数，因此当w 由-p/T p/T时，
4、q由-p p，幅度旋转了一周，映射到了整个z平面。因此w 每增加一个w s=2p/T，q就相应增加2p，也就重复旋转一周，z平面就重叠一次。 所以，zs映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。,掌握了sz平面映射规律之后，容易利用类似在连续时间 系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z平面特性与系统 时域特性、频响特性以及稳定性的关系。,返回,二z变换与拉氏变换表达式之对应,我们知道：,当把x(t)以等间隔T抽样后：,其z变换为：,此式的收敛条件是：|z|esT|，当符合这一条件时,这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的 离散序列z变换式的关系式。,该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：
5、,X(s)的诸极点,例如：当X(s)有一单阶极点s1时,以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。,容易求得，它的拉式变换为,若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成,下面把信号按部分分式分解进行讨论,它的z变换为,注意跳变值,借助模拟滤波器设计数字滤波器,例8-6-1,例8-6-2,返回,注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。,例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2;阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。,注意跳变值,返回,已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为 ， 求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。,X(s)只有一个一阶级点s=-a， 可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为,解：,例8-6-1,返回,于是， X(s)可以展成部分分式,已知正弦信号sin(w0t)u(t)的拉式变换为 ， 求抽样序列sin(w0nT)u(nT)的z变换。,显然X(s)的极点位于s1=jw0, s2= -jw0,其留数分别为,解：已知,例8-6-2,可以得到sin(w0nT)u(nT)的z变换为,返回,
