1、第四章 数值积分,4.1 梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton-Cotes公式 4.2 复化求积公式 4.3 求积公式的代数精度与误差估计 4.4 梯形逐次分半求积公式 4.5 龙贝(Romberg)方法,引 言,我们称或 为数值积分公式，其中为确定的常数Ai为确定的常数，称为求积公式的系数，Rn(f)表示求积公式的截断误差或求积公式的余项。 特别的：为插值求积公式。我们根据插值求积公式构造各种求积表达式。,4.1 梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton-Cotes公式,并计算,作为积分值的近似值，得,(4.4),即梯形求积公式,一、梯形公式：,二、辛卜生求积公式：,
2、从而求得求积公式,(4.5)称为辛卜生(Simpson)公式（或抛物线求积公式）。,(4.5),三、牛顿柯特斯公式：,(4.6),4.2 复化求积公式,一、定义 将区间a,b先分成n个小区间，其长度为 , 分点为 然后对每个小区间 使用三种求积公式得到积分似值 ，再对所有小区间进行叠加，取和 作为整个区间上的积分近似值，这样就得到了复化求积公式。,当积分区间a，b较大时，直接使用上述公式所得近似值的精度很低，实际应用中往往采用复合求积的方法。,二、复化梯形求积公式：,由梯形公式，在第i个小区间上,称为复化梯形公式,(4.7),三、复化辛卜生公式,(4.8),四、复化牛顿柯特斯公式：,则有复化牛
3、顿柯特斯公式：,(4.9),例利用下表计算积分,其中,其中,都需调用9次函数，但精度差别很大。计算结果表明，复化辛卜生公式是一种精度较高的求积公式，因此在工程技术中较为常用。,解：,4.3求积公式的代数精度与误差估计,一、代数精度 上节所讲的 ， ， 都属于插值型求积公式，因为他们的构造可知其中 是拉格朗日插值多项式， 为其误差项。即 其中,下面的表达式为插值型求积公式的截断误差或余项。因此当为次数不超过n次的多项式是， =0，从而 =0，且这表明该求积公式对次数n的代数多项式精确成立。,一般情况下，为得到高精度的求积公式，在求积公式中，将节点 和系数 视为待定参数，依次取被积函数 带入上式，
4、列出相应2n+2个线性方程组若能得到满足上式的解 ， 代回原设定的求积公式总，便可得到至少具有2n+1次代数精确度的求积公式。,待定系数法,二、误差估计：,证明：由第二章余项公式，有：,梯形公式：,2、复化梯形求积公式 (4.5)截断误差：,(4.13),(4.14),二、辛卜生公式：,1、辛卜生公式(4.5)截断误差：,2、复化辛卜生公式(4.8)截断误差：,(4.15),(4.16),(4.17),1、牛顿柯特斯公式(4.6)截断误差：,三、牛顿柯特斯公式：,(4.18),2、复化牛顿柯特斯公式(4.9)截断误差：,(4.19),4.4 梯形逐次分半求积公式,复化求积方法对提高精度是行之有
5、效的，但是使用复化求积公式之前必须给出合适的步长，步长取的太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。而事先给出一个恰当的步长是困难的。 实际计算时通常采用变步长的求积方案，即在步长逐次折半（或称步长二分）的过程中，反复利用复化的求积公式进行计算，直到二分前后两次积分近似值相当符合为止。下面以梯形公式为例，探求变步长的计算规律。,(4.20),(4.21),一、基本原理：,由上节的误差估计式 (4.13),由公式 (4.13),4.5 龙贝(Romberg)方法,则由上两式求得：,前已说过（见2.2），这种直接用计算结果估计 误差的方法称为事后估计法。,(4.22),按估计式(4.22)，,可能是更好的结果。,(4.23),二、龙贝求积公式：,(公式4.8),(公式4.5),代入前式：,(4.20),(4.21),(4.22),(4.23),(4.24),综上，可以在积分区间逐次分半的过程中，利用上述公式，将粗糙的近似值逐步精确，得到,这种算法称为龙贝方法。,
