1、1第二章 平面向量2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示；难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；基础梳理1.向量的定义：_;2.向量的表示：（1 ）图形表示： （2 ）字母表示：3.向量的相关概念：（1 ）向量的长度（向量的模）：_记
2、作：_（2 ）零向量：_，记作：_（3 ）单位向量：_（4 ）平行向量：_（5 ）共线向量：_（6 ）相等向量与相反向量：_2思考：（1 ）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？_（2 ）平行向量与共线向量的关系：_（3 ）向量“共线”与几何中 “共线”有何区别：_【典型例题】例 1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1 ）零向量是唯一没有方向的向量； （2 ）平面内的向量单位只有一个；（3 ）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；（4 ）向量 和 是共线向量， ，则 和 是方向相同的向量；ab/ca（5 ）相等向量一定是共线向量；例 2.已知
3、 是正六边形 的中心，在图中标出的向量中：OABCDEF（1 ）试找出与 共线的向量；（2 ）确定与 相等的向量；（3 ） 与 相等吗？例 3.如图所示的为 的方格纸（每个小方格都是边长为 1 的正方形） ，试问：起点和终343点都在小方格的顶点处且与向量 相等的向量共有几个？与向量 平行且模为 的ABAB2向量共有几个？与向量 的方向相同且模为 的向量共有多少个？32课后巩固训练1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：（1 ）向量 和 是共线向量，则 四点必在一直线上；ABCDABCD、 、 、（2 ）单位向量都相等；（3 ）任意一向量与它的相反向量都不想等；（4 ）四边形 是平行四边形当
4、且仅当 ；（5 ）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；2.平面直角坐标系 中，已知 ，则 点构成的图形是_xOy|2A43.四边形 中， ，则四边形 的形状是_ABCD1,|2ABCAD4.设 ，则与 方向相同的单位向量是_0a5.若 分别是四边形 的边 的中点。EFMN、 、 、 ABCDCDA、 、 、求证： /6.已知飞机从甲地北偏东 的方向飞行 到达乙地，再从乙地按南偏东 的方3020km30向飞行 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行 到达丁地，问：丁地20km12k在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？52.2.1 向量的加法【学习目标】1.掌握向量加法的定义；2.会用向量加法的三角法则
5、和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；基础梳理1.向量的和、向量的加法：已知向量 和 ，_ab则向量 叫做 与 的和，记作：_OB_叫做向量的加法6注意：两个向量的和向量还是一个向量；2.向量加法的几何作法：（1 ）三角形法则的步骤：就是所做的OBab（2 ）平行四边形法则的步骤：就是所做的OCab注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用。3.向量加法
6、的运算律：（1 ）向量加法的交换律：7_（2 ）向量加法的结合律：_思考：如果平面内有 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这 条向量的和是什n n么？_【典型例题】例 1.如图，已知 为正六边形 的中心，作出下列向量：OABCDEF（1 ） （2） （3）AO例 2.化简下列各式（1 ） （2 ）ABCDAEABMO（3 ） （4 ）F()CDBC8例 3.在长江南岸某处，江水以 的速度向东流，渡船的速度为 ，渡12.5/kmh25/kmh船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？课后巩固训练1.已知 ，求作：,ab（1 ）（2 ）2.已知 是平行四边形 的交点，下列结论正确的有_OABCD
7、9（1 ） （2 ）ABCABDC（3 ） （4 ）D 0O3.设点 是 内一点，若 ，则点 为 的_ 心；O0AB4.对于任意的 ，不等式 成立吗？请说明理由。,ab|bab2.2.2 向量的减法10【学习目标】1.理解向量减法的概念；2.会做两个向量的差；3.会进行向量加、减得混合运算4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点：三角形法则难点：三角形法则，向量加、减混合运算基础梳理1.向量的减法： 与 的差：若_，则向量 叫做 与 的差，记为_abxab向量 与 的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。2.向量 的减法的作图方法：ab
8、作法：_则 BAab3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量()ab114.关于向量减法需要注意一下几点：在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.以向量 为邻边作平行四边形 ，则两条对角线的向量为,ABaDbABCD， 这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强Cab理解；对于任意一点 ， ，简记“终减起” ，在解题中经常用到，必须记住.OAB【典型例题】例 1.已知向量 ，求作向量： ；,abcd,abcd思考：如果 ，怎么做出 ？/abab例 2.已知 是平行四边形 的对角线的交点，若 试证OABCD,ABaDbOCc明： bca12思考？1.（1） OA
9、CBCD（2 ） caOA2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和？例 3.化简下列各式（1 ） ()ABCDA（2 ） （3 ） ()()B课后巩固训练1.在 中， ， ，下列等式成立的有_ABC90ACB13（1 ） |CAB（2 ） |C（3 ） |（4 ） 222|AB2.已知四边形 的对角线 与 相交与 点，且 ，BCDO,ACBOD求证：四边形 是平行四边形。A3.如图， 是一个梯形， ， 分别是 的中ABCD/,2ABCD,MN,DCAB点，已知 试用 表示 和,aba142.2.3 向量的数乘（1）【学习目标】1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；2.掌
10、握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律；基础梳理1.向量的数乘的定义：一般地，实数 与向量 的积是一个向量，记作：_；它的长度和方向规定如下：a（1 ） |（2 ）当 时，_；015当 时，_；0当 时，_；_叫做向量的数乘2.向量的线性运算定义：_统称为向量的线性运算；3.向量的数乘的作图：已知 作,ab当 时，把 按原来的方向变为原来的 倍；0当 时，把 按原来的相反方向变为原来的 倍；a4.向量的数乘满足的运算律：设 为任意实数， 为任意向量，则,ab（1 ）结合律_（2 ）分配律_
11、注意：（1）向量本身具有“ 形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中，既要考虑模的大小，又要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；（2 ）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。【典型例题】例 1.已知向量 ，求作：,ab16（1 ）向量 2.5a（2 ） 3b例 2.计算（1 ） (5)4aA（2 ） ()3ba（3 ） (642)cbc注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2 ）向量的线性运算的结果是一个向
12、量，运算法则与多项式运算类似。例 3.已知 是不共线的向量， ，试用 表示,OAB,()APtBR,OABP17例 4.已知： 中， 为 的中点， 为 的中点， 相ABCD,EF,ACB,DECF交于 点，求证：O（1 ） ()2（2 ） 0ABECF（3 ） O18课后巩固训练1.计算：（1 ） 3(5)2(6)ab（2 ） 438)cabc2.已知向量 且 求,ab3()2()4()0,xaxbx3.在平行四边形 中， 为 的中点，用ABCD,3,aAbNCMB来表示,abMN194.如图，在 中， 为边 的中线， 为 的重心，ABC,abADBCGABC求向量 G202.2.3 向量的数
13、乘（2）【学习目标】1.理解并掌握向量的共线定理；2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题；3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；基础梳理1.向量的线性表示：若果 ，则称向量 可以用非零向量 线性表示；,(0)baba2.向量共线定理：思考：向量共线定理中有 这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？0a【典型例题】例 1.如图， 分别是 的边 的中点，,DEABC,21（1 ）将 用 线性表示；DEBC（2 ）求证： 与 共线；例 2.设 是两个不共线的向量，已知12,e，若 三点共线，求 的值。1212,3,ABkCeDe,ABDk变式：设 是两
14、个不共线的向量,已知12e,求证： 三点共线。121283,ABCeDe,ABD22例 3.如图， 中， 为直线 上一点， ,OABC1,CBA求证： 1思考：（1 ）当 时，你能得到什么结论？（2 ）上面所证的结论： 表明：起点为 ，终点为直线 上一点1OABCOAB23的向量 可以用 表示，那么两个不共线的向量 可以表示平面上任CO,AB,OAB意一个向量吗？课后巩固训练1.已知向量 求证： 为共线向量；1221,3(),aebe,ab2.设 是两个不共线的向量， 若 是共线向量，求12,e1212,aebkeab的值。k243.已知向量 其中 不共线，向量 ，是12123,aebe12,
15、e129ce否存在实数 ，使得 与 共线,dac4.平面直角坐标系中，已知 若点 满足 其中(3,1),ABC,OAB三点共线，求 的值；,R,BC2523 1 平面向量基本原理【学习目标】1 了解平面向量的基本定理及其意义；2 掌握三点（或三点以上）的共线的证明方法：3 提高学生分析问题、解决问题的能力。基础梳理1、平面向量的基本定理如果 ， 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且1e2 a只有一对实数 ， 使 = +a1e22.、基底：平面向量的基本定理中的不共线的向量 , ，称为这一平面内所有向量的一组基底。1e2思考：（1 ） 向量作为基底必须具备什么条件？
16、（2 ） 一个平面的基底唯一吗？答：（1）_（2）_3、向量的分解、向量的正交分解：一个平面向量用一组基底 , 表示成 = + 的形式，我们称它为向量的分解，1e2a1e2当 , 互相垂直时，就称为向量的正交分解。1e24、 点共线的证明方法：_ 【典型例题】26例 1：如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M ， = , = 试用 ABaDb, ，表示 , , 和 。abMCABDD CM bA B a例 2： 设 ， 是平面的一组基底，如果 =3 2 ， =4 + 1e2 AB1eBC1e， =8 9 ，求证：A、B、D 三点共线。C27例 3： 如图，在平行四边
17、形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM= AB，点 N 在 21BC 上，且 BN= BC ，用向量法证明： M、N、D 三点共线。1D CNA B M28课后巩固训练1、若 ， 是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的（ e2）A、 2 和 +2 B 、 与 31e1e21e2C、 2 +3 和 - 4 6 D、 + 与1121212、若 ， 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（ ）1e2A、若实数 ， 使 + =0，则 = =0121e212B、空间任意向量都可以表示为 = + ， ， Ra1e212C、 + ， ， R 不一定表示平
18、面内一个向量1e212D、对于这一平面内的任一向量 ，使 = + 的实数对 ， 有无数对a1e2123、三角形 ABC 中，若 D，E ，F 依次是 四等分点，则以 = ， = 为基ABCB1eA2底时，用 ， 表示1e2CBF E D 29A C4、若 = - +3 , = 4 +2 , = - 3 +12 , 写出用 + 的形式表示a1e2b1e2c1e21b2ca232 向量的坐标表示(1)【学习目标】1、 能正确的用坐标来表示向量；2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同；3、 掌握平面向量的直角坐标运算；4、 提高分析问题的能力。基础梳理1、一般地，对于向量 ，当它的起点移至_时，其终点的坐标 称为向量 a ),(yxa30的（直角）坐标，记作_。2、有向线段 AB 的端点坐标为 ，则向量 的坐标为),(,)(21yxByxAAB_。3、若 = ， a),(1yx)2,(yxb+ =_。b_。a【典型例题】例 1：如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， ，求向06,34xOA量 的坐标 。A例 2：已知 A（-1，3） ，B（1，-3 ） ，C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 的坐标。CDAOB,
