1、期末作业考核概率论与数理统计 满分 100 分一、计算题（每题 10 分，共 70 分）1、已知随机变量 服从二项分布，且 ， ，试求二项分布的参数 ， 的值。X4.2)(XE4.1)(Dnp解： 因为随机变量 服从二项分布，即 ，),(pnB所以 ，npE)( )1()(由此可得 ， ,4.24.解得：n=6，p=0.4。2、设 ，试求 的概率密度为 。),3(2NXX)(xf解： 因为随机变量 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：，)(21)(2)( xexfx进而，将 代入上述表达式可得具体密度函数为：,3。)(xf )(218)(2xex3、设有 10 个零件，其中 2 个是次
2、品，现随机抽取 2 个，求“恰有一个是正品”的概率。解：利用古典概型进行概率计算则 “恰有一个是正品”的概率为： ；1820645C至少有 1 个是正品的概率为： 或 0.978。12804、已知离散型随机变量 服从参数为 2 的普阿松分布，即 ，试求随机X ,210,!2)(kekXP变量 的数学期望。23Z解： 因为随机变量 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：)(21)(2)( xexfx，进而，将 ,3代入上述表达式可得具体密度函数为：)(xf)(214)(2xex。5、设随机变量 与 相互独立且均服从 分布，试求 的概率密度。XY1,0(NYXZ解：由于 ,独立，所以 (,2
3、)Z服 从 ，YX的概率密度为：)4exp(1)(2zzf。6、设总体 的概率密度为 ， 为总体 的样本，试求 的矩估xexf,0),()( nX,21 计量。解： 的矩估计量可如下求解：()0()xxEXeded1，由矩估计法知，令 1X。7、设总体 ，从总体 中抽取一个容量为 25 的样本，求样本均值 与总体均值之差的绝)0,6(2NX X对值大于 2 的概率。 （已知标准正态分布的分布函数 ） 。8413.0)(解：|60|(|60|)(1)()2()2PXP0.3174二、证明题（共 30 分）1、设 是取自总体 的样本，试证明统计量 是总体方差 的),(21n ),0(2NniiX12)(2无偏估计量。证明： 事实上，2211()()nni ii iXX2221 1() )n ni ii iEE 2()n所以统计量niiX12)(是总体方差 2的无偏估计量。
