1、线性规划的实际应用,简单的线性规划（2）,教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域. 教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何,模型建立,一、设目标函数z=ax+by,当b0时, 把直线l0向上平移时,所对应的z随之增大; 把直线l0向下平移时,所对应的z随之减小.,二、当b0时，求目标函数z=ax+by的最大值或最小值的求解程序为:,(1)作出可行域; (2)作出直线l0:ax+by
2、=0; (3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.,模型建立,一、设目标函数z=ax+by,当b0时, 把直线l0向上平移时,所对应的z随之减小; 把直线l0向下平移时,所对应的z随之增大.,二、当b0时，求目标函数z=ax+by的最大值或最小值的求解程序为:,(1)作出可行域; (2)作出直线l0:ax+by=0; (3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.,道路交通规划,与规划有关的例子,生产安排规划,资源调配,科学配餐,例1、 要
3、将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,目标函数为 z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,例2：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲两种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元；生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大？,在关数据列表如下：,设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y
4、,利润,何时达到最大？,营养学家指出，成人日常饮食每天至少要摄入0.075千克碳水化合物、0.06千克蛋白质和0.06千克脂肪。现有甲乙两种食物，在每千克甲中含0.105千克碳水化合物，0.07千克蛋白质、0.14千克脂肪，花费为28元，在每千克乙中含0.105千克碳水化合物，0.14千克蛋白质、0.07千克脂肪，花费为21元，请设计出符合营养学家要求并且花费最少的营养配餐。,例3：（配餐问题）,分析：整理数据，列表得：,解：设每天选择甲x千克，乙 y千克;根据条件得不等式组:,即：,目标函数为：Z=28x+21y,0,作出二元一次不等式组所表示的平面区域,x,y,0,设z=28x+21y，求
5、z的最小值。,第一步：点（x，y）在此平面区域内运动时，如何求z=28x+21y的最小值。,第二步：由z=28x+21y得：,直线与此平面区域有公共点，求z的最小值。,，当这族,第三步：在区域内找一点，使直线经过该点时在y轴上的截距最小。,M,y,x,N,解方程组：,得M 点的坐标为,所以,答：每天食用食物A 143g，食物B 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。,线性规划问题,列出约束条件 建立目标函数,列约束条件时要注意到变量的范围.,注意:,线性规划问题解题步骤：,练习、某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1吨需消耗A种矿石10吨、B种矿石5吨、煤4吨；
6、生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4吨、B种矿石4吨、煤9吨.每1吨甲种产品的利润是600元,每1吨乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300吨、消耗B种矿石不超过200吨、消耗煤不超过360吨.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1吨),能使利润总额达到最大?,解:设生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨,利润总额为z元,那么,10x+4y300,5x+4y200,4x+9y360,x0,y 0,z=600x+1000y.,作出可行域：,作出一组平行直线： 600x+1000y=z，,解得交点M的坐标为(12.4,34.4),10x+4y=300,5x+4
7、y=200,4x+9y=360,600x+1000y=0,M,(12.4,34.4),经过可行域上的点M时,目标 函数在y轴上截距最大.此时 z=600x+1000y取得最大值.,4x+9y360,例2、 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则,目标函数为 z=x+y,今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,作出一组平行直线 z = x+y
8、，,目标函数 z= x+y,法一：打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时 z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.,作出可行域,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出一组平行直线 z= x+y，当直线经过点A时 z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12，,目标函数 z= x+y,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C
9、(4,8) .,二、调整优值法：,练习巩固,1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,由上表可知： （1）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌 6002=300张,可获利润:80300=24000元,但木料没有用完,（2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱900.2=450 张,可获利润120450=54
10、000元,但木工板没有用完,分析：,300,600,A(100,400),1.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；,（1）怎样安排生产可以获利最大？,（2）若只生产书桌可以获利多少？,（3）若只生产书橱可以获利多少？,（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元， 则约束条件为,Z=80x+120y,作出不等式表示的平面区域，,当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80100+120400=560
11、00元,（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；,（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。,将直线z=80x+120y平移可知：,900,450,求解：,4,x=8,y=4,x+y=10,4x+5y=30,320x+504y=0,2.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，
12、最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）,解：设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则,Z=320x+504y,作出可行域中的整点，,可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最小值，且Zmin=2608元,作出可行域,课后记,依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次. 本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材. 本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.,
