1、第二讲 复变函数与解析函数,1. 复变函数的定义2. 映射的概念3. 反函数或逆映射,5 复变函数,1. 复变函数的定义,与实变函数定义相类似,定义,例1,例2,在几何上， w=f(z)可以看作：,定义域,函数值集合,2. 映射的概念,复变函数的几何意义,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量 u，v 与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,例3,解,关于实轴对称的一个映射,见图1-11-2,旋转变换(映射),见图2,例4,解,图1-1,图1-2,图2,例5,例
2、已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象。,例,3. 反函数或逆映射,例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射,为多值函数,2支.,定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*,1. 函数的极限2. 运算性质3.函数的连续性,6 复变函数的极限与连续性,1. 函数的极限,定义,几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 邻域中,(1) 定义中 的方式是任意的.与一元实变函数相比较要求更高.,(2) A是复数.,2. 运算性质,复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：,定理1,(3) 若f(z)在
3、 处有极限,其极限是唯一的.,定理2（极限的四则运算）,以上定理用极限定义证!,例1,例2,例3,同上,3.函数的连续性,定义,定理3,例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。,证明,定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,第二章 解析函数,第一节 解析函数的概念第二节 函数解析的充要条件第三节 初等函数,1. 复变函数的导数定义2. 解析函数的概念,2.1 解析函数的概念,一. 复变函数的导数与微分,(1)导数定义,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。,(1) z0是在平面区域上
4、以任意方式趋于零。,(2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z),例1,(2)求导公式与法则, 常数的导数 c=(a+ib)=0.,证明 对于复平面上任意一点z0，有,-实函数中求导法则的推广, (zn)=nzn-1 (n是自然数)., 设函数f (z),g (z) 均可导，则,f (z)g (z) =f (z)g(z)，,f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z),复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)，其中w=g(z)。, 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。,例3 问：函数f (z)
5、=x+2yi是否可导？,例2,解,解,例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。,证明,不存在！,思考题,复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为z0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。,(3)复变函数的微分,形式上与实变函数微分定义一致,即,即,(4)可导（可微）与连续,若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.,?,注：在数学分析中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举。,二. 解析函数的概念,如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称f (z)在D内解析，或称f (z)
6、是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。,(2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；,例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；,定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时) 均是D内的解析函数。,(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。,定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析,h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析。,
