1、 3.4 修改 Z变换 1具有多采样频率系统 在某些控制系统中，存在着不同采样频率的采样开关，如图 3.10所示。 ()Rs ()Es *()Es1 TSes 1S()Ys11s 21Tses2TT图 3.10 具有不同采样频率系统结构图 图 3.10表示，该系统反馈回路的采样频率高一倍，这是为了要了解采样周期 T之间的反馈信号，如图 3.11所示。 图 3.11 具有采样周期为 的输出响应系统 2T2T32T具有 采样周期的采样信号可表示为 （ 3.37） (3.37)式表示在采样周期 与 之间包含有 个附加脉冲信号 。 TN*0( ) ( ) ( )Nkk T k Ty t y tNNkT
2、 ( 1)kT ( 1)N对 (3.37)式两边进行采样信号的拉氏变换，得 （ 3.38） () NY z Z *0 ( ) ( ) k NNkkTy t y ZN 分析图 3.10所示，具有不同采样频率系统的方法，可以采用最低一个采样频率（即采用周期为 T）的采样开关的 N个并行环节连接，并经过超前 /滞后处理，对图 3.10所示系统可变为如图 3.12所示。 01()hGs()Gs()Hs 02 ()hGs图 3.12 与图 3.10等效系统结构图 因为一个系统内不能有多种采样周期 ， 否则无法求得系统的 Z传递函数 ， 移位定理也不能使用 。 经过图 3.12的处理，就可求得采样周期为
3、的传递函数，而系统中的采样周期都是为 T 。 2T其原理可用图 3.12A来说明。为了说明清楚起见，设要求采样的波形为三角波，要实现 周期采样时，应将图3.12A(a)中峰值与谷值同时采样出来。 2T（ a） （ b） 2T T 3 2T 2T()yt ()yt2TT 2T2T3 2T图 3.12 A 这样就可以应用通常 Z变换的分析方法，从图 3.12可写出 Z传递函数表示式为 (3.39) （ 3.40） (3.41) 在（ 3.41）式中，右边第 2项，因为延时为非整数，故不能应用移位定理处理，需要采用修改 Z变换方法。 11 21 ( ) ( ) ( 1 )1hoTZ G s G s
4、z Zzs 2221 1 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( 1 )T s T shoeeZ G s H s Z Z Zs s s s s s 其中 1222 1 1 2 ( ) ( ) ()() 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hoTs Tsh o h o h o h oZ G s G sYzRz Z G s H s Z G s G s Z e G s G s Z e G s H s 2. 修改 Z变换 从理论上讲，修改 Z变换有两种形式，即超前和滞后两种。 （ 1）超前形式。 超前形式修改 Z变换示意图，如图 3.13所示。其中，图(a)为 的时间函
5、数，图 (b)为超前 T ( )的 的时间函数 ()yt 0 TT ()y t Tb a ()yt()ytT图 3.13 超前形式修改 Z变换图形 它的 Z变换式为 0( , ) ( ) kkY Z y k T T z （ 2）滞后形式 滞后形式修改 Z变换示意图，如图 3.14所示。类似 （ 3.42)式，滞后形式的 Z变换式可写成 （ 3.43） 0( , ) ( ) kkY z y k T T z ()yt()y t T()y T T(2 )y T T (3 )y T T(4 )y T T图 3.14 滞后形式修改 Z变换图形 (3.43)式在理论上似乎是正确的，但在分析中存在一定的问题
6、，这可以下例进行说明。 例 3.11 设滞后时间为 ，求 的修改 Z变换式，根据（ 3.43）式，得 (3.44) T() aty t e 0()0( , ) ( )kka k T T kkY z y k T T zez ( ) 1 ( 2 ) 2 a T a T T a T Te e z e z 上式右边第 1项是不应该存在的，因为函数 在 时是不存在的，怎么能产生 Z变换式呢？ ()yt 0t为了解决滞后修改 Z变换在分析中存在的困难，引入 （ 3.45） 1m 因为 ，故 也是 ，将（ 3.45）式代入（ 3.43）中，得 01 m 01m10( , ) ( , ) ( ) kmkY z
7、 m Y z y k T T m T z 10( ) kkz y k T m T z（ 3.46）式定义为修改 Z变换，记作 对例 3.8重新进行计算，可得 （ 3.47） ( ) ( , )mZ y t Y z m1 ( )01 ( 1 ) ( 2 ) 3( , )a k T m T kka m T a m T k a m TY z m z e zz e e z e z am TaTeze 利用（ 3.46）修改 Z变换式，可对图 3.12所示的系统写出闭环 Z传递函数式。重写（ 3.39）式，即 (3.48) 1222 1 1 2 ( ) ( ) ()() 1 ( ) ( ) ( ) (
8、) ( ) ( ) ( ) ( ) hoTs Tsh o h o h o h oZ G s G sYzRz Z G s H s Z G s G s Z e G s G s Z e G s H s 其中 11 21 ( ) ( ) ( 1 )1hoTZ G s G s z Zzs 2221 1 1 ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( 1 )T s T shoeeZ G s H s Z Z Zs s s s s s 上式右边第 2项可利用（ 3.46）式进行计算，即 sseeZsGsGeZ TsTshoTs 11)()( 2/12/ 22/1 )1(seZz Ts222/1 TtseL Ts 21
9、22/25232 zTzTTseZ Ts232121)1()1(2)32()1(2 zTzzTzzzzTzzT 12)()(12/ z TTsGsGeZ hoTs sseeZsGsGeZ TsTshoTs 11)()( 2/12/ 22/1 )1(seZz Ts 22/1 )1(sezZz Ts2/121 1)1( mm szZz 21 )1()1( )2/()1( z Tzz zTz查表法 111)()( 2/2/22/sseeZsHsGeZ TsTshoTs)1()1(2/sseZsseZ TsTs )1(1)1(1 12/1 ssZzssZmmTTTezzezez 11111 2/TTe
10、ze 2/1将上述各式代入（ 3.48）式中，得 （ 3.49） 2 22( ) ( )()12 2 2 2TTTT T TY z T z eRz T T T Tz e e z e Te e 3. 具有 N倍采样频率和不同采样频率的系统表达方法 （ 1）具有 N倍采样频率系统的表达方法 设具有 N倍采样频率系统，如图 3.15所示，其中图 3.15（a）为原理图，图 3.15（ b）为图 3.15(a)的等效结构图。 (a) (b) 图 3.15 具有 N倍采样频率系统结构图 （ 2）具有不同采样频率系统的表达方法 设具有不同采样频率的系统，如图 3.16所示。 (c) 图 3.16 不同采样频率系统结构图 *001*001( ) ( ) ( ) ( )()1 ( ) ( ) ( ) ( )nkkknkkkD s G s D s G sYsD s G s D s G s*01( ) ( )TSeD s D ss * 1( ) ( ) 1 , 2 , ,KTsTsNkeD s e D s k ns 101( ) ( )Ts NeG s G ss11 11( ) ( )kkk NNTsTs NkeG s e G ss 111( ) ( )nn TS NTs NneG s e G ss
