1、1.3 函数的基本性质,函数的单调性,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：,1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,1、从左至右图象上升还是下降 _?2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ ,f(x) = x,(-,+),增大,上升,1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _,f(x) = x2,(-,0,(0,+),增大,减小,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,一、函数单调性定义,一般地，设函数y=f(x)的
2、定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,1增函数,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,2减函数,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,注意：,2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性
3、，区间D叫做y=f(x)的单调区间.,二函数的单调性定义,在 增函数在 减函数,在 增函数在 减函数,在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,在(-,+)是增函数,在(-,0)和(0,+)是增函数,例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区间-2,1), 3,5 上是增函数。,例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大
4、。试用函数的单调性证明之。,证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V10,又k0,于是,所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.,取值,定号,结论,三判断函数单调性的方法步骤,1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,思考？,思考：画出反比例函数的图象1 这个函数的定义域是什么？2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你
5、的结论,证明：函数f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,证明：设x1,x2是(0，+)上任意两个实数，且x10,又由x10所以f(x1)- f(x2)0, 即f(x1) f(x2),因此 f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,取值,定号,变形,作差,判断,四、归纳小结,函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：,取 值 作 差 变 形 定 号 下结论,1 书面作业：课本P45 习题13（A组） 第3、 4题,五、作业,1、法二：作商的方法,由x1x2时， 大于或小于1来比较f(x1)与f(x2) 的大小，最后得出结论。,讨论,2、由图象知：函数在 上不具有单调性。,讨论一般性,问题：,1、当k变化时函数的单调性有何变化？,2、当b变化时函数的单调性有何变化？,例3借助计算机作出函数y =x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间,
