1、函数的概念,一、映射,如果按照某种对应法则 f, 对于集合 A 中的任何一个元素, 在集合 B 中都有唯一的元素和它对应, 那么这种对应叫做集合A 到集合 B 的映射, 记作 f: AB.,二、一一映射,如果 f: AB 是集合 A 到集合 B 的映射, 对于集合 A 中的不同元素, 在集合 B 中有不同的象, 且 B 中的每一个元素都有原象, 那么这种映射叫做一一映射.,若 aA, bB, 且 a 和 b 对应, 则称 b 是 a 的象, a 是 b 的原象.,三、函数,设 A, B 是两个非空数集, 如果按照某种对应法则 f, 对于集合 A 中的任何一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定
2、的数和它对应, 那么称 f: AB 为集合 A 到 B 的一个函数.,变量 x 叫做自变量, x 取值的集合 A 叫做函数的定义域;,与 x 的值对应的 y 的值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域.,解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域, 函数的定义域包含三种形式:,表示函数的对应法则有解析法、列表法与图象法, 其中解析法是最基本、最重要的方法, 中学数学学习的函数基本上都能用解析法表示.,四、函数的三要素,1.对应法则,若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数叫做分段函数.,若一个函数的自变量又是另一个变量的函数: y=f(u), u=g(x)
3、, 即 y=fg(x), 这种函数叫做复合函数.,对应法则、定义域、值域是函数的三要素, 其中起决定作用的是对应法则和定义域.,2.定义域,自然型: 指使函数的解析式有意义的自变量 x 取值的集合(如: 分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数, 对数函数的真数为正数, 等等);,限制型: 指命题的条件或人为对自变量 x 的限制, 这是函数学习中的重点, 往往也是难点, 有时这种限制比较隐蔽, 容易出错;,实际型: 解决函数的综合问题与应用问题时, 应认真考察自变量 x 的实际意义.,3.值域,配方法(将函数转化为二次函数);判别式法(将函数转化为二次方程); 不等式法(运用不等
4、式的各种性质);,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域:,注: 运用初等方法求函数的值域经常要对函数的解析式进行变换, 但必须保证变换的等价性. 否则可能引起所求值域的扩大或缩小. 另外, 求函数的值域必须认真考察函数的定义域, 如果定义域是闭区间, 则先求得函数的最大值, 最小值, 得函数的值域.,函数法(运用有关函数的性质, 或抓住函数的单调性、函数图象等).,1.求下列函数的定义域:,典型例题,3.已知函数 f(x) 的定义域是 a, b, 且 a+b0, 求下列函数的定义域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x-m
5、) (m0).,4.当 k 为何值时, 函数 y=lg(kx2+4kx+3) 的定义域为 R? 又当 k 为何值时, 值域为 R?,值域为 R 时, 定义域又如何?,3. (1):,3. (2):,a, -a(a0 时原式不定义函数),3. (3):,4.当 k 为何值时, 函数 y=lg(kx2+4kx+3) 的定义域为 R? 又当 k 为何值时, 值域为 R?,值域为 R 时, 定义域又如何?,值域为 R 时, 定义域为 (-, x1)(x2, +), 其中, x1, x2 为一元二次方程 kx2+4kx+3=0 的两根且 x1x2.,3.已知函数 f(x) 的定义域是 a, b, 且 a+b0, 求下列函数的定义域: (1) f(x2); (2)g(x)=f(x)-f(-x); (3)h(x)=f(x+m)+f(x-m) (m0).,5.求函数 y=loga(ax-k2x) (a0 且 a1) 的定义域.,解: 要使函数有意义, 必须 ax-k2x0, 得:, 当 a=2 时, 若 k0 且 , 1), 请把 y 表示成 x 的函数并求其定义域和值域.,解: 原方程即为: lg2z-2lgz+3x=0 (x0).,由已知可得: =4-12x0,其值域为(-, -2)2, +).,
