1、高中数学立体几何题型与方法( 理科) 经典例题剖析例 1、已知 三点不共线，对平面外任一点，满足条件 ，试判断：点 与 是否一定共面？解析：要证明 平面 ，只要证明向量 可以用平面 内的两个不共线的向量和 线性表示答案:证明：如图，因为 在 上，且 ，所以 同理 ，又 ，所以又 与不共线，根据共面向量定理，可知 ， ， 共面由于 不在平面 内，所以 平面 点评：空间任意的两向量都是共面的与空间的任两条直线不一定共面要区别开.例 2、如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC4，AA 14 ，点 D 是 AB 的中点，（I）求证：ACBC 1； （II ）求证：AC 1/平面 C
2、DB1；解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.答案：（1） 是 的中点，取 PD 的中点 ，则，又四边形 为平行四边形 ， （4 分）（2）以 为原点，以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ， ， ，在平面 内设 ， ， ，由 由 是 的中点，此时 （8 分）（3）设直线 与平面 所成的角为， ，设 为故直线 与平面 所成角的正弦为 （12 分）解法二：（1） 是 的中点，取 PD 的中点 ，则，又四边形 为平行四边形 ， （4 分）（2）由（1）知 为平行四边形，又同理 ，为矩形 ， ，又作 故
3、交 于 ，在矩形 内， ， 为 的中点当点 为 的中点时， （8 分）（3）由（2）知 为点 到平面 的距离， 为直线 与平面 所成的角，设为 ，直线 与平面 所成的角的正弦值为 点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2 ）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来例 3、如图，四棱锥 中，侧面 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面是 的菱形， 为 的中点.()求 与底面 所成角的大小；()求证： 平面 ；()求二面角 的
4、余弦值.解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 答案：(I)取 DC 的中点 O，由 PDC 是正三角形，有 PODC又平面 PDC底面 ABCD，PO平面 ABCD 于 O连结 OA，则 OA 是 PA 在底面上的射影PAO 就是 PA 与底面所成角ADC=60 ，由已知 PCD 和 ACD 是全等的正三角形，从而求得 OA=OP= PAO=45PA 与底面 ABCD 可成角的大小为 45 6 分(II)由底面 ABCD 为菱形且ADC=60 ，DC =2，DO=1，有 OADC建立空间直角坐标系如图，则 ,
5、由 M 为 PB 中点， ，PADM，PA DC PA平面 DMC 4 分(III) 令平面 BMC 的法向量 ，则 ，从而 x+z=0； , ，从而 由、，取 x=1，则 可取 由(II)知平面 CDM 的法向量可取 ， 所求二面角的余弦值为 6 分法二：（）方法同上 （）取 的中点 ，连接 ，由（）知，在菱形 中，由于 ，则 ，又 ，则 ，即 ，又在 中，中位线 ， ，则 ，则四边形 为 ，所以 ，在 中， ，则 ，故 而 ，则（）由（）知 ，则 为二面角 的平面角，在 中，易得 ，故，所求二面角的余弦值为例 4、如图，在长方体 中， 点 在线段 上.（）求异面直线 与 所成的角；（）若二
6、面角 的大小为 ，求点到平面 的距离.解析：本题涉及立体几何线面关系的有关知识, 本题实质上求角度和距离,在求此类问题中，要将这些量归结到三角形中,最好是直角三角形,这样有利于问题的解决，此外用向量也是一种比较好的方法.答案：解法一：（）连结 。由已知， 是正方形，有 。 平面 ， 是 在平面 内的射影。根据三垂线定理， 得，则异面直线 与 所成的角为 。作 ，垂足为 ，连结 ，则所以 为二面角 的平面角， .于是易得 ，所以 ，又 ，所以 。设点 到平面 的距离为 . 即 ， ，即 ， .故点 到平面 的距离为 。解法二：分别以 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系.（）由 ，得设 ，又
7、，则 。 则异面直线 与 所成的角为 。（） 为面 的法向量，设 为面 的法向量，则 . 由 ，得 ，则 ，即 由、，可取又 ，所以点 到平面 的距离。例 5、如图所示：边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直且 DE= ，ED/AF 且DAF=90。（1）求 BD 和面 BEF 所成的角的余弦；（2）线段 EF 上是否存在点 P 使过 P、 A、 C 三点的平面和直线 DB 垂直，若存在，求 EP与 PF 的比值；若不存在，说明理由。解析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为 AC、AD、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则 B（2，0，0 ），D（0，0 ，2 ），E（1， 1，2），F （2 ，2，0 ），则设平面 BEF 的法向量，则可取 ，向量 所成角的余弦为。即 BD 和面 BEF 所成的角的余弦 。（2）假设线段 EF 上存在点 P 使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直，不妨设 EP 与 PF的比值为 m，则 P 点坐标为则向量 ，向量所以 。点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。例 6、
