1、,数学史概论,李文林,数学史概论 （第3版）,主 讲 人 高 翔,李文林,庞加莱语录,如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。,Poincar (法, 1854-1912年),数学史的分期,一、数学的起源与早期发展(公元前6世纪) 二、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 三、近代数学时期(17世纪-18世纪) 四、现代数学时期(1820年-现在),主要参考书,美克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社, 1972（中译本: 北京大学数学系数学史翻译组译, 上海科学技术出版社, 19791981, 4卷本) 张奠宙. 20世纪数学经纬. 上海: 华东师范大学出版社,
2、 2002 吴文俊主编. 世界著名数学家传记(上、下册). 北京: 科学出版社, 1995 中国大百科全书编辑委员会. 中国大百科全书(数学卷). 北京: 中国大百科全书出版社, 1988 王元, 严士健, 石钟慈, 谈德颜编译. 数学百科全书(5卷本). 北京: 科学出版社, 1994-2000 李心灿，等编. 当代数学精英：菲尔兹奖得主及其建树与见解（第2版）. 上海科技教育出版社. 2009 李心灿，等编. 当代数学大师：沃尔夫数学奖得主及其建树与见解. 北京航空航天大学出版社. 2005,一 数学史的意义,不了解数学史，就不可能全面了解数学科学数学发展的历史性累积性特征(大厦)数学科学
3、的整体性统一性(大树)60多个二级学科400多个三级学科,希尔伯特语录,数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系警惕数学“被分割成许多孤立的分支“的危险，跟这种危险作斗争的最稳妥的办法也许就是要对于数学的过去成就,传统和目标得到一些知识。,Hilbert，（德18621943）,不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史科学的皇后(为人类提供精密思维的模式)科学的女仆(科学的语言和工具)推动人类物质生产,影响人类物质生活方式人类思想革命的武器 (逻辑说服力与计算精确性)促进艺术发展的文化激素 (艺术特征, 数学概念与原理),二 什么是数学,公元前4世纪：亚里士多德定
4、义为“数学是量的科学”；16世纪，培根将数学分为：纯粹数学与混合数学;17世纪，笛卡尔认为：“凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关”。17、18世纪，数学家们关注的焦点是运动和变化.牛顿和莱布尼茨之后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问;19世纪,恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学;19世纪后期，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问;,20世纪50年代，前苏联：现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学。20世纪80年代，美国学者为主，将数学定义为“模式”的科学：数学这个领域已被称作模式的科学（Science o
5、f pattern）， 其目的是要解释人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。,第一章 数学的起源与早期发展,1、数与形概念的产生,手指计数（伊朗，1966）,结绳计数（秘鲁，1972）,文字5000年 (伊拉克, 2001),西安半坡遗址出土的陶器残片,捷克摩拉维亚狼骨（约三万年前）,4800 B.C 4300 B.C,半坡遗址陶器残片,半坡遗址房屋基础,中国殷商甲骨文数字,埃及象形文字,西汉彩帛女娲伏羲图案(新疆出土), 古埃及的象形数字（C. BC 3400），十进制 巴比伦楔形数字（C. BC 2400），六十进制 中国甲骨文数字（C. BC 1600），十进制 希腊
6、阿提卡数字（C. BC 500），十进制 中国筹算数码（C. BC 500），十进制 印度婆罗门数字（C. BC 300），十进制 玛雅数字（？），二十进制,中国殷商甲骨文字中的数字,古埃及数字,美索不达米亚数字,玛雅文明中的数字,古希腊数字,2、河谷文明与早期数学,河谷文明：历史学家常把兴起于埃及、美索不达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先发展起来的。,2.1 古代埃及的数学,埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。1
7、、古王国时期：前2686前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。2、新王国时期：前1567前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。,莱茵德纸草书 莫斯科纸草书 埃及纸草书（民主德国, 1981）,埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、 创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了 巍峨宏伟的神庙和金字塔。,埃及人最基本的算术运算是加法，乘法运算时通过逐次加倍的程序来实现的。,一次方程：,几何问题：内容大都与土地面积和谷堆体积的计算有关。,面积公式：正方形、矩形、等腰梯形等图形面
8、积公式, 莱茵德纸草书第52题：通过将等腰梯形转化为矩形，得到了等腰梯形的面积公式。,埃及数学的特色：单位分数的广泛使用。埃及人把所有的真分数都表示为一些单位分数的和。如莱茵德纸草书中：,第50题：给出了圆面积的近似计算,即直径为9的圆形土地，其面积等于边长为8的正方形的面积，相当于取,体积计算： 莫斯科纸草书第14题：给出了计算平截头方堆体积的公式，用现代符号相当于：,这里 h 是高，a , b 是底面正方形的边长。,莱茵德纸草书(1650 B.C.),罗赛塔石碑 (1799 发现),莫斯科纸草书,两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。
9、古巴比伦王国：前1894前729年。汉穆拉比（在位前 1792前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的汉穆拉比法典。亚述帝国：前8世纪前612年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩苏尔市）。新巴比伦王国：前612前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成巴比伦“空中花园”。公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭亡了新巴比伦王国。,古代巴比伦简况,2.2 美索不达米亚数学（古代巴比伦的数学）,巴比伦泥板和彗星 （不丹，1986）,泥版楔形文,苏美尔计数泥版(文达,1982),普林顿322,泥版文书：约
10、有300多块是数学文献。主要分属于两个相隔遥远的时期：一大批属于公元前二千纪头几个世纪；许多来自公元前一千纪的后半期。,(1) 记数系统：60进制,(2) 程序化算法,代表事例之一：开平方,如求正数a 的平方根: 设 a1是这个根的首次近似，由b1=a /a1 求出第二次近似 b1，取a2=(a1+b1) / 2, 为下一步近似，再求出b2=a /a2，则a3=(a2+b2) / 2 将为更好的近似值。,现有的300多块泥版中, 有200多块是数学用表, 包括乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表，以至于指数(对数)表。如一块泥版文书中的问题：若年利率为20%，使本金翻倍需要多少年
11、？解法是利用复利公式，通过查阅指数表并最后利用线性插值而得结果。,绘制了各种数表：,(3) 代数学,(a) 二次方程：一般三项二次方程形如 x2 + p x = q , x2 = p x + q , x2 + q = p x ( p 0, q 0)给出正确的解算程序。,如：x2 = p x + q ，相当于给出求根公式：,(b) 三次方程：,形如 x3 = a 的纯三次方程，主要通过查立方表或立方根表求解；形如 x3 + x2 = a 的混合三次方程也是借助于现成的表求解。编有专门的 n3 + n2 的数值表。更一般的三次方程，运用代换的方法求解。如： 144 x3 +12 x2 = 21 ,
12、 方程两端同乘以12, 令y =12 x, 然后通过查表求得。,(4) 几何学,掌握三角形、梯形等平面图形面积和棱柱、平截头方堆等立体图形体积的公式；知道利用图形相似性概念。使用勾股定理。,普林顿322是一块更大的泥版文书的右半部分, 缺损的左半部分是在出土后丢失的. 现存部分长12.7cm, 宽8.8cm, 上面记载的文字属古巴比伦语, 其年代当在公元前1600年以前.普林顿322世纪上是一张表格, 由4列15行数字组成. 在很长时间内, 它都被认为是一张商业账目表, 而没有引起人们的重视. 1945年, 诺依格包尔首先揭开了其中的奥秘。,“普林顿322” 泥版文书：,“普林顿322” 泥版
13、文书,普林顿322数表与“整勾股数”有关. 所谓的整勾股数就是满足 a2 + b2 = c2 的一组整数, 也称“毕达哥拉斯数”. 计算表明: 普林顿322数表第、列的相应数字, 恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边 c 与直角边 b . 至于第列数字( 记为 s ), 诺依格包尔发现: s = (c / a )2 , 即 s 相当于 b 边所对角的正割平方. 并且表中比值 c / a 以大约1的间距均匀递减, 相应的夹角则以约 10 的间距从 450 减至 310. 因此, 普林顿322的第列实际上给出了一张从 310 至 450 的正割三角函数平方表, 这可能是为天文或工程计算而设计的.,普林顿322数表是如何计算出来的？毕达哥拉斯数组 (a , b , c) 可以用下列参数表示：a = 2 p q , b = p 2 q 2 , c = p 2 + q 2 其中 p , q 互素，且 p q 不同时为奇数。种种迹象表明，古巴比伦人可能就是通过这种办法来得到普林顿322中的数字。另外，学者推测，普林顿322丢失的左半部分很可能列有 p , q 与 a 的相应数值。,
