1、由于外部因素（载荷或温度），物体内部各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为位移。 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。,应变,M(x,y,z),M(x,y,z),刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。,M(x,y,z),M(x,y,z),变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。,位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析位移函数具有连续的3阶导数。,物体内部各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为位移。物体上各点位置发生变化变形一点的变形
2、通过微分六面体单元描述 微分单元体的变形，分为两部分讨论。 正应变棱边的伸长和缩短； 切应变棱边之间夹角（直角）改变。,正应变,切应变,坐标 ， ，,A(x,y)点位移 u，v ，,B(x+dx,y)点位移 ，,C(x,y+dy)点位移 ，,位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析位移函数具有连续的3阶导数。,坐标 ， ，,坐标,坐标,坐标,按幂级数展开，并略去dx、dy二次以上项：,几何意义,根据小变形假设， 是微量，故,几何方程位移分量和应变分量之间的关系,几何方程又称柯西方程 微分线段伸长正应变大于零 微分线段夹角缩小切应变分量大于零,微小应变的几何解释,几何方程位移导数表示的应变； 应
3、变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形； 原因是没有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。,变形通过应变描述坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。 应变分量的转轴公式 应变张量,主应变与主应变方向,应变状态,应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。,体积应变：仅与线应变有关与角应变无关。弹性体一点体积的改变量 引入体积应变有助于简化公式解释,协调方程,数学意义： 几何方程6个应变分量通过3个位移
4、分量描述 力学意义变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束，不得出现“撕裂”和“重叠”。,例1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解：,显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。,要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得,同理：,对x求一阶偏导数，则,分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式,将几何方程的四，五，六式分别对z，x
5、，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，消去w、v则,应变协调方程 圣维南 （Saint Venant）方程,变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。,证明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。 变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。 目标如果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。 利用位移和转动分量的全微分，则,轮换x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz,如通过积分，计算出,是单值连续的，则问题可证。,保证单值连续的条件是积分与积分路径无关,根据格林公式,回代,回代到第四式,wx单值连续的必要与充分条件是,同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条件。,变形协调方程 单连通域位移单值连续的必要和充分条件 多连通域位移单值连续的必要条件 充分条件是位移的连续补充条件,
