1、课时作业( 十五)学 业 水 平 层 次 一、选择题1设 a、b、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：( ab)c(c a)b0；| a| ； a2bb 2a；(3a2b )(3a2b)9|a| 24| b|2.aa其中正确的有( )A B C D【解析】 由于数量积不满足结合律，故不正确，由数量积的性质知 正确，中|a| 2b| b|2a 不一定成立，运算正确【答案】 D2已知 abc0， |a|2，|b|3，| c|4，则 a 与 b 的夹角a，b( )A30 B45C 60 D以上都不对【解析】 abc0， abc ，(ab)2| a|2| b|22ab|c |2，ab
2、 ，cosa，b .32 ab|a|b| 14【答案】 D3已知四边形 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，连结AC，BD ， PB，PC，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A. 与 B. 与PC BD DA PB C. 与 D. 与PD AB PA CD 【解析】 用排除法，因为 PA平面 ABCD，所以 PACD，故 0，排除 D；因为 ADAB，PAAD，又 PAABA，所以PA CD AD平面 PAB，所以 ADPB，故 0，排除 B，同理 0，DA PB PD AB 排除 C.【答案】 A4. 如图 3121，已知空间四边形每条边和对角线都等于 a，点E，F，G 分别
3、是 AB， AD，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a2 的是( )图 3121A2 BA AC B 2 AD DB C 2 FG AC D2 EF CB 【解析】 2 a 2，故 A 错；2 a 2，故 B 错；2BA AC AD DB a2，故 D 错；2 2a 2，故只有 C 正确EF CB 12 FG AC AC 【答案】 C二、填空题5已知|a| 2，| b|3， a，b60，则|2a3b| _.【解析】 |2a3b| 2(2a3b) 24a 212a b9b 24|a| 29| b|212|a|b|cos 6061，|2a3b| .61【答案】 616已知|a| 2，| b|1，
4、 a，b60，则使向量 ab 与a2b 的夹角为钝角的实数 的取值范围是_【解析】 由题意知Error!即Error! 22 20.1 1 .3 3【答案】 (1 ， 1 )3 37. 如图 3122，已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各条棱长都相等，M 是侧棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角的大小是_图 3122【解析】 不妨设棱长为 2，则| 1| ， AB BB1 BA BM BC 12，BB1 cos ， 0，故填AB1 BM BB1 BA BC 12BB1 225 0 2 2 022590.【答案】 90三、解答题8如图 3123 在正方体 ABCDA1B1
5、C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点求证： A1O平面 GBD.图 3123【证明】 设 a， b， c .A1B1 A1D1 A1A 则 ab0，ac0， bc0.而 ( )c (ab) ，A1O A1A AO A1A 12AB AD 12 ba，BD AD AB ( ) (a b) c.OG OC CG 12AB AD 12CC1 12 12 (ba)A1O BD (c 12a 12b)c( ba) (ab)( ba)12c bca (b2a 2)12 (|b|2| a|2)0.12 .A1O BD A1OBD.同理可证 .A1O OG A1OOG.又 OG
6、BDO 且 A1O面 BDG，A1O面 GBD.9已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB AA 12，AD4，E为侧面 AB1 的中心，F 为 A1D1 的中点，试计算：(1) ；(2) BC ED1 BF ；(3) .AB1 EF FC1 【解】 如图所示，设 a， b， c ，AB AD AA1 则|a| |c| 2，|b|4，abbc ca0.(1) ( )BC ED1 AD EA1 A1D1 bAD 12AA1 AB AD 12c a b|b| 2 4216.(2) ( )( )BF AB1 BA1 A1F AB BB1 ( )(AA1 AB 12AD ) AB AA1 (ac
7、)(c a 12b)|c| 2|a| 2 222 20.(3) ( )( )EF FC1 EA1 A1F FD1 D1C1 12AA1 AB 12AD (12AD AB ) 12c a 12b(12b a) ( abc)12 (12b a) |a|2 |b|22.12 14能 力 提 升 层 次 1(2014中山高二检测) 已知边长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1 的上底面 A1B1C1D1 的中心为 O1，则 的值为( )AO1 AC A1 B0 C 1 D2【解析】 ( )AO1 AA1 A1O1 AA1 12A1B1 A1D1 ( )，而 ，则 ( 2 2)1，AA1 12AB
8、AD AC AB AD AO1 AC 12AB AD 故选 C.【答案】 C2已知 a，b 是两异面直线，A，Ba， C，Db，ACb，BDb 且 AB2，CD1，则直线a，b 所成的角为( )A30 B60 C 90 D45【解析】 由于 ，AB AC CD DB 则 ( ) 21.AB CD AC CD DB CD CD cos ， ， 60.AB CD AB CD |AB |CD | 12 AB CD 【答案】 B3(2014长沙高二月考) 已知正三棱柱 ABCDEF 的侧棱长为2，底面边长为 1，M 是 BC 的中点，若直线 CF 上有一点 N，使MNAE，则 _.CNCF【解析】 设
9、 m，由于 ，CNCF AE AB BE m ，MN 12BC AD 又 0，AE MN 得 11 4m0，解得 m .12 ( 12) 116【答案】 1164如图 3124，平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AB1，AD 2，AA 13，BAD90， BAA 1DAA 160，求 AC1 的长图 3124【解】 ，AC1 AB AD AA1 | |AC1 AB AD AA1 2 .AB 2 AD 2 AA1 2 2AB AD AB AA1 AD AA1 AB 1，AD2， AA13， BAD90， BAA1 DAA160， ， 90， ， ， 60，AB AD AB AA1 AD AA1 | |AC1 1 4 9 213cos 60 23cos 60 .23
