1、1河南省豫南九校 2018 届高三下学期第一次联考数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 2210,10AxBx，则 AB（ ）A x B C 12x D122.复数 20183zi (i为虚数单位），则 z（ ）A2 B C1 D 2 3. 7logcs4的值为（ ）A 1 B 2 C 2 D 2 4.抛物线 20)(xpy的焦点坐标为（ ）A ,0 B 1,8p C 0,2p D 10,8p 5.将函数 sin4yx的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不
2、变），再向右平移 6个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）A 5sin24xy B sin23xy C 5sin21xy D 7i16.某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为 1 的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）2A 21 B 32 C 21 D 32 7.九章算术中的“两鼠穿墙”问题为“ 今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的 d的值为 33，则输出的 i的值为（ ）A4 B5 C6 D78. 已知直三棱拄 1A中， 1120,ABBC， ，则异面直线 1AB与1BC
3、所成角的余弦值为（ ）A 32 B 5 C 105 D 3 9.已知两定点 1,0和 ,，动点 ,Pxy在直线 :lyx上移动，椭圆 C以 ,AB为3焦点且经过点 P，则椭圆 C的离心率的最大值为（ ）A 5 B 105 C 25 D 2105 10.已知 的三个内角 A、 、 的对边分别为 abc、 、 ，若 sin16A，且 2a，则 C的面积的最大值为（ ）A 3 B 3 C 32 D 23 11.在12087ax的展开式中， 5x项的系数等于 264，则 0axed等于（ ）A 23e B 24e C 1e D 2 12.已知实数 ,xy满足 3ln3ln25yxyxy，则（ ）A 1
4、5 B 15 C 67 D 87 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数 ,xy满足1,30,2yx则 zxy的最大值为 14.已知向量 ,ab满足 ,ab，则向量 b在 a方向上的投影为 15. 已知直线 (2)0,xy过圆 2410xy的圆心，则 412ab的最小值为 16.下列结论：若 0xy,，则“ 2xyx”成立的一个充分不必要条件是“ 2x，且 1y”；存在 1,a，使得 loga；若 fx在 ,b上连续且 0bafxd，则 fx在 ,ab上恒正； 在锐角 ABC中，若 sin12cosincossinCAC，则必有 2A
5、B；平面上的动点 P到定点 ,0F的距离比 P到 y轴的距离大 1 的点 P的轨迹方程为24yx.其中正确结论的序号为 (填写所有正确的结论序号）4三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设正项等比数列 na， 481，且 23,a的等差中项为 123a.（1）求数列 n的通项公式；（2）若 321logba，数列 nb的前 项和为 nS，数列 nc满足 41nS， nT为数列nc的前 项和，若 nT恒成立，求 的取值范围.18. 四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形， 2,ABCPAB， .侧面 底面.（1）证明： PCBD；（2
6、）设 与平面 A所成的角为 45，求二面角 BPCD的余弦值.19.某地区某农产品近几年的产量统计如下表:（1）根据表中数据，建立 y关于 x的线性回归方程 ybta；（2）若近几年该农产品每千克的价格 v(单位:元）与年产量 满足的函数关系式为4.503vy，且每年该农产品都能售完.根据（1）中所建立的回归方程预测该地区 20187t年该农产品的产量；当 7t为何值时，销售额 S最大？附：对于一组数据 12,ntytty ，其回归直线 ybta的斜率和截距的最小二5乘估计分别为：12niiityb， aybt.20.已知点 12,0F，圆 22:16Fx，点 M是圆上一动点， 1F的垂直平分
7、线与线段 2M交于点 N.（1）求点 的轨迹方程；（2）设点 的轨迹为曲线 E，过点 0,1P且斜率不为 0 的直线 l与 E交于 ,AB两点，点B关于 y轴的对称点为 B，证明直线 AB过定点，并求 PAB面积的最大值.21.设函数 sinxfeab.（1）当 ,0a时， 0fx恒成立，求 b的范围；（2）若 fx在 处的切线为 1y，求 a、 的值.并证明当 0,x)时，lnf.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l的参数方程为312xty（ 为参数) ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
8、圆 C的极坐标方程为 24cos3.（1）求圆 的直角坐标方程；（2）若 ,Pxy是直线 l与圆面 cs的公共点，求 xy的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲已知 ,xyz均为实数.（1）求证： 43212x；（2）若 6yz，求 2yz的最小值.6数学（理科）参考答案一、选择题1-5: DCBBB 6-10: ACCAB 11、12：AC二、填空题13. 1 14. 12 15. 94 16.三、解答题17. （1）设等比数列 na的公比为 0q，由题意，得 341218q解得 13aq所以 1n（2）由（1）得 213lognnb，1 2nnS 214ncn， 1135221n nT
9、 若 2nn恒成立，则 *nN恒成立，则 max1，所以 13.18.解：（1）证法一：设 AB中点为 O，连接 P，由已知 PA，所以 P，而平面 B平面 CD，交线为故 O平面7以 O为原点， P为 z轴， OB为 y轴，如图建立空间直角坐标系，并设 POh，则 0,102,10hBCD所以 2,0PCD，所以 P.证法二：设 AB中点为 O，连接 ，由已知 PAB，所以 POAB，而平面 平面 C，交线为故 PO平面 ，从而 D 在矩形 AB中，连接 ，设 与 B交于 M，则由 :CD知 OC:，所以 CDB所以 90M，故 O由知 B平面 PC所以 P. （2）由 AD，平面 AB平面
10、 CD，交线为 AB，可得 D平面 PAB，所以平面 B平面 P，交线为过 作 H，垂足为 ，则 H平面 P与平面 A所成的角即为角 B所以 263BD 从而三角形 P为等边三角形， PO（也可以用向量法求出 ，设 0,h，则 0,1,02,10ABD，可求得平面 AD的一个法向量为 ,1p，而 2,BD，由 cos,sin45p可解得3h）8设平面 BPC的一个法向量为 m，则 0BPC，0,13,2,0， 可取 ,31设平面 DPC的一个法向量为 n，则 0DPC，2,13,0,2，可取 3,2于是 cos,mn，故二面角 BPCD的余弦值为 10.19.解：（1）由题， 234563.t
11、， 6.7.127.46y，61.50.1.05050.8iity ，22222.1.5.17.it所以 80.6175b，又 aybt，得 70.63.4a，所以 y关于 t的线性回归方程为 .1.4t.（2）由（1）知 0.16.4yt，当 7t时， 0.167.4.56y，即 2018 年该农产品的产量为 7. 56 万吨.当年产量为 y时，销售额 3235010Syy(万元）， 当 7.5y时，函数 取得最大值，又因 6.,7.1,.4,756，计算得当 .6，即 7t时，即 2018 年销售额最大. 20.解：（1）由已知得： 1NFM，所以 1224NFMNF又 12F,所以点 的
12、轨迹是以 12,为焦点，长轴长等于 4 的椭圆，所以点 N轨迹方程是24xy.（2）当 k存在时，设直线 :10ABkx， 12,AxyB，则 2,xy，联立直线 AB与椭圆得2xy，9得 2(140)kx，21228kx， 12ABykx，所以直线 121:yABx，所以令 0，得 121xy，1221121xkkxx，所以直线 AB过定点 0,Q，（当 k不存在时仍适合）所以 P的面积 122PBQAkSx21k，当且仅当2k时，等号成立.所以 PAB面积的最大值是 2.21解：由 sinxfeab，当 1a时，得 coxf.当 0,x时， 1,s,xe，且当 cos1x时， 2,xkN，
13、此时 1xe.所以 co0xf，即 fx在 0,+上单调递増，所以 min1ffb，由 0fx恒成立，得 0，所以 1b.（2）由 sinxfea得coxf，且 01fb.由题意得 0fea，所以 .又 0,1b在切线 1xy上.10所以 010b.所以 2b.所以 2xfe.先证 1x，即 10()xx，令 () 0xge，则 1x，所以 g在 0,是增函数.所以 ()x，即 21xe.再证 1ln，即 1ln0()，令 xx，则 1，0x时， x， 0时， 1x， 0 时， 1x.所以 在 ,1上是减函数，在 ,上是增函数，所以 min0x.即 1l，所以 1lnx.由得 2lxe，即 f
14、x在 0,上成立.22解：（1）圆 C的极坐标方程为 24cos3， 22314cos4sin2，又 22xy， co,iy， 3，圆 C的普通方程为 230xyy（2）设 3z，故圆 的方程 230xyy22134xy，11圆 C的圆心是 1,3，半径是 2，将 23xty代入 zxy得 zt，又直线 l过 1,C，圆 的半径是 2， 2t， 2t，即 3xy的取值范围是 2,.23.证明：（1）法一： 42)()1（3()2(xx 13=()21)xx(12()1xx22()10，所以 432x.法二： )()1x（432421x0x，所以 43212. （2）证明：因为 2263149xyzxyz (由柯西不等式得）所以 2187xyz，当且仅当 3即 69,7xyz时， 22xyz有最小值 187.
