1、第四章,1,第四章规则金属波导,第四章,2,均匀填充介质的金属波导管，因电磁波在管内传播，故称为波导。若波导管的横截面形状、尺寸沿纵向不变，则为规则波导。对波导传输线，一般采用场的分析方法。本章先是对规则波导传输系统中的电磁场问题进行分析，研究规则波导的一般特性；然后讨论矩形金属波导和圆形金属波导的传输特性和场结构；最后介绍波导的耦合和激励方法。,第四章,3,4.1 导波原理1、规则金属管内电磁波对均匀填充介质的金属波导建立如 图所示坐标系，z轴与波导轴线相重合。为了简化起见，我们作如下假设：波导管内填充的介质是均匀、线性、各向同性的；,第四章,4,波导管内无自由电荷和传导电流存在； 波导管内
2、的场是时谐场。在理想介质的无源区域，Maxwell 方程为设导波沿z向（轴向)传播，纵坐标z与横向坐标无关， 场量按正弦规律变化，则导波的电场变化具有如下的形式：,第四章,5,将上式代入Maxwell方程，可得这是复矢量式，用直角坐标的三个分量来表示，上式可写成,第四章,6,如果用 和 来表示其它场分量，那么由上式可得,第四章,7,式中,第四章,8,在第二章中我们曾导出无界空间的波动方程。对于时谐场，该波动方程变成,第四章,9,上式称为矢量亥姆霍茨方程。拉普拉斯算子在直角坐标系统可分为三个分量：这里我们引入了二维拉普拉斯算子它是横向平面上的拉普拉斯算子。式中,第四章,10,az 为z方向单位矢
3、量，下标t表示横向分量。将电场、磁场分解为纵向分量和横向分量以方便求解纵向分量法。由对z求导二次，得以此代入 ,可得,第四章,11,利用 和矢量亥姆霍茨方程，可得仿照上面的推导，可求得关于磁场的类似方程：上二式是导波电场和磁场应满足的微分方程。可由给定的边界条件，求解,第四章,12,这两个方程，得出纵向场分量 ，再利用纵向场量求得横向场分量。上面出现的 ，称为传播常数。对于无耗波导 ，为相移常数。此时有关系式：是微分方程在特定边界条件下的特征值，称为截止波数。它是一个与导波系统横截面形状、尺寸及传输模式有关的参量。,第四章,13,在纵向场表示横向场量的公式中，应用 ，可得：,第四章,14,2、
4、传输特征描述波导传输的主要参数有：相移常数、截止波数、相速、波导波长、群速、波阻抗及传输功率。下面分别叙述如下。1）相移常数和截止波数导行波的场量都有因子 ，为相位常数，由前面的推导可知,第四章,15,对于理想导波系统 k= 为实数且与电磁波的频率成正比，而 由波导横截面的边界条件决定的，也是实数。由关系式可知，随着工作频率的不同 可能有下述三种情况。 此时导行波的场为,第四章,16,这是波沿正z方向无衰减传输的状态。 此时场量为显然，这时波沿z轴以指数规律衰减，称为截止状态。 这是介于传输与截止之间的临界状态。这时 ，故将 称为截止波数。由 所决定的频率 和波长 分别称为截止频率和截止波长：
5、,第四章,17,其中 为无限介质中的光速，而截止波数这样导波系统传输电磁波的条件为而截止条件为,第四章,18,2）相速 与波长 电磁波在波导中传播，其等相位面移动速率称为相速，于是有式中，c为真空中光速，对导行波来说， 即在规则波导中波的传播的相速度要比在无界空间相同媒质中传播的相速度要快。,第四章,19,导行波的波长称为波导波长，用 表示，它与波数的关系式为将 ，代入上式得,第四章,20,另外，我们将相移常数及相速 随频率的变化关系称为色散关系，它描述了波导系统的频率特性。当波存在色散特性时，相速 不能很好地描述波的传播速度，这时就要引入“群速”的概念。群速度是指一群具有相近的和的波群在传输
6、过程中的“共同”速度。或者说是已调波包络的速度，从物理概念上看，这种速度就是能量的传输速度。,第四章,21,当 为常数时，导行波的群速为（见阎润卿著微波技术基础P70）在传输条件下，3）波阻抗定义某个波型的横向电场和横向磁场之比为波阻抗，即,第四章,22,4）传输功率由坡印亭定理，波导中某个波型的传输功率为式中，Z为该波型的波阻抗。,第四章,23,3、导行波的分类 用以约束或导引电磁波能量沿一定方向传输的结构称为导波结构，在其中传输的波称为导行波。在导波结构中能单独存在的电磁场结构形式，称为导行波的传输模式。导行波横向场量与纵向场量有关，因此可根据 的情况，将导行波分为以下三类。 1）横电磁波
7、（TEM波）此传输模式没有电磁场的纵向分量,第四章,24,即 。由横向场量公式知，此时要使 不为0，必须 ， 即 = k 。由于该导行波既无纵向电场又无纵向磁场，只有横向电场和磁场，故称为横电磁波，简称TEM波。 对于TEM波，=k，故相速、波长及波阻抗和无界空间均匀媒质中相同。而且由于截止波数 ，因此理论上任意频率均能在此类传输线上传输。横电磁波是双导体传输线的主要传输模式。,第四章,25,2）横电波（TE波或H波） 这时 ，电场只有横向 分量故称为横电波，又此时纵向场量中 只有纵向磁场，故又称为H波。 由波阻抗的定义可得TE波的波阻抗为：,第四章,26,3）横磁波（TM波或E波） 的波，因
8、为磁场只有横向分量，称为横磁波，简称TM波，又由于纵向场量中只有纵向电场故又称为E波。 由波阻抗的定义可得TM波的波阻抗为：,第四章,27,无论是TM波还是TE波，其相速均比无界媒质空间中的速度要快，故称之为快波。 当 时， ，而相速 即相速比无界媒质空间中的速度要慢，,第四章,28,故又称之为慢波。由光滑导体壁构成的导波系统不可能有 的情形，只有当某种阻抗壁存在时才有这种可能。以上三种情况实质上对应了三种导波结构，即TEM输线、封闭金属波导和表面波导。本章着重讨论封闭金属波导的传输特性，下面分别对常用的矩形波导和圆波导的传输特性进行分析。,第四章,29,4.2 矩形波导通常将由金属材料制成的
9、、矩形截面的、内充空气的规则金属波导称为矩形波导，它是微波技术中最常用的传输系统之一。设矩形波导的宽边尺寸为a，窄边尺寸为b，并建立如图所示的坐标。,第四章,30,1、 矩形波导中的场由上节分析可知，波导管内只能存在 TE波和TM波，不可能传播TEM波。事实上，如果波导管内真有TEM波存在的话，则磁场线应完全在横截面内，而且是闭合线。按 Maxwell 方程，回线上磁场的环路积分应等于与回线交链的轴向电流。在空心波导内不可能有轴向传导电流，而TEM波不存在轴向电场也就不可能存在轴向的位移电流。因此在横,第四章,31,截面内不可能存在磁场闭合线。由此可以断定空心波导管内不存在TEM波。下面分别讨
10、论矩形波导中的TM波和TE波。1）TM波下面求其它五个分量。因为横向场量此时是用 来表示的，所以应先求出 。按前述场量应满足的微分方程，有,第四章,32,在直角坐标系 中 ， 上式可写作该方程可用分离变量法求解，设其解为 式中X表示只含变量x的函数，Y表示只含变量y的函数，在计算中省略 。上式代入方程，并除以X（x）Y（ y），,第四章,33,要使上式成立，则左边两项必须均为常数，设分别为 和 则有,第四章,34,的通解为下面用边界条件来决定 以及 和 。(1)为使所有y值均有 ，显然 应等于零。,第四章,35,（2） 又因为 等于0，此时为使所有x值均有 ，显然 或 应等于零。但 等0，将使
11、通解为0。故应取 等0。于是通解变为 式中， ，其大小由激励源决定。,第四章,36,(3)为使所有y值均有 ，（因 ，否则 ），所以 应为于是,第四章,37,（4） 上式变成为使所有x值均有 ， 应满足于是矩形波导TM波纵向电场的基本解为,第四章,38,以 表示的TM波横向场量为：,第四章,39,这些式子表示TM波的电场和磁场分量沿x和 y方向的变化规律。对于场量随时间和沿z方向的变化，可重新在场量中引入因子 来表示。 式中：为波沿纵向（z方向）传播的相位常数； 为矩形波导TM波的截止波数，由 ，可得,第四章,40,显然 与波导尺寸、传输波型有关。取不同的m和n，代表不同的TM波场结构模式，用
12、 表示。可见波导中可以有无穷多个TM模式。由场量表达式可以看出，下标第一个数字m表示在矩形截面长边方向电场的半波数；第二个数字n表示短边方向电场的半波数。由于TM 波的m和n不能等于零，否则全部场量将变为零。所以在矩形波导中最低阶的 TM 模式是 波。,第四章,41,TM模的场结构如图。,第四章,42,2）TE波仿照求解TM波的同样方法，可以求得波导中传播TE波时磁场纵向分量的表示式：和由纵向场分量 表示的TE波横向场分量的表示式：,第四章,43,第四章,44,式中：为波沿纵向（z方向）传播的相位常数； 为矩形波导TE波的截止波数，它与TM波有相同的表示式：在矩形波导中也可以有无穷多个TE波的
13、模式，用 表示。一组m、n，对应一种TE波， m和n分别代表TE波沿x方向和y方向分布的半波个数。,第四章,45,值得注意的是，对于TE波，只要m和n不同时为零，场量并不全部为零，所以TE 波的最低阶模式是 或 。由于ab，所以 波是最低阶模式，具有最低截止频率 ，称为主模。其余称为高次模。总之，矩形波导内存在许许多多模式的波 。TE波是所有 TEmn模式场的总和而TM波是所有TMmn模式场的总和。,第四章,46,第四章,47,2、矩形波导的传输特性1）截止波长与截止频率由以上所述可知，矩形波导TMmn和TEmn模的截止波数表示式相同均为相应的截止波长为,第四章,48,截止频率一个模能否在波导
14、中传输，取决于波导结构和工作频率（或波长）。对相同的m和n， TEmn和TMmn有相同的截止波长，称为简并模。虽然它们场分布不同，但具有相同的传输特性。下图给出标准波导BJ-32各模式截止波长分布图。,第四章,49,第四章,50,2）波导波长和相移常数矩形波导TMmn和TEmn模的波导波长表示式，以及它们的相移常数表示式相同。波导波长为相移常数为,第四章,51,其中=2/k，为工作波长。由上式可见，当工作波长大于某个模的截止波长 时，0，此模可在波导中传输，故称为传输模。可见波导相当于高通滤波器，只允许 的波传输。,第四章,52,例题：设某矩形波导的尺寸为a=8cm，b =4cm； 试求工作频
15、率在3GHz时该波导能传输的模式。解：由f=3GHz，得,第四章,53,可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。,第四章,54,3. 主模TE10 波 在导行波中截止波长c最长的导行模称为该导波系统的主模，矩形波导的主模为TE10模。由于该模式具有场结构简单、稳定、频带宽和损耗小等特点，所以实用上，几乎毫无例外地工作在TE10模式。下面着重介绍TE10模式的场结构及其工作特性。1）TE10模的场分布将m=1，n=0，kc=/a，代入TE波各,第四章,55,分量表示式，并考虑时间因子ejt，可得TE10模各场分量表达式：,第四章,56,根据场方程可画出TE10模的场结构，如图所示。
16、由图可见，为满足理想导体 的边界条件，电磁波横向为驻波分布，而沿 z方向按行波状态变化，即图中的场结构是作为一个整体随t的增加沿z方向以的速度移动。从图还可以看出，场量与y无关，即各分量沿 y 轴均匀分布；Hx和 Ey最大值在同一截面上出现；而 Ey与 Hz的最大值相距 ，两者在时间相位上差90o。,第四章,57,矩形波导TE10模的场分布图,第四章,58,2） TE10 波的表面电流分布电磁场在波导中传播时，会在波导壁的内表面上感应出高频电流，称为管壁电流或表面电流。这种表面电流的分布取决于波导内所传播的电磁场的波型。表面电流与变化电场所产生的位移电流一起，保证了电流的连续性。 根据矩形波导
17、TE10模的场分布和理想导体的边界条件 可以确定TE10 波的表面电流分布，如图所示。,第四章,59,第四章,60,3)TE10模的传输特性截止波长与相移常数:由于m=1,n=0得TE10模截止波数为于是截止波长为,第四章,61,而相移常数为波导波长与波阻抗对TE10 模，其波导波长、波阻抗为,第四章,62,相速与群速：TE10模的相速p和群速g分别为,第四章,63,式中，为自由空间光速。传输功率：由坡印亭定理得矩形波导TE10模的传输功率为其中， 是Ey分量在波导宽边中心处的振幅值。由此可得波导传输TE10模时的功率容量为,第四章,64,其中，Ebr为击穿电场幅值。因空气的击穿场强为 30
18、kV/cm，故空气矩形波导的功率容量为,第四章,65,可见波导尺寸越大，频率越高，则功率容量越大。而当负载不匹配时，由于形成驻波，电场振幅变大，因此功率容量会变小。不匹配时的功率容量 和匹配时的功率容量Pbr的关系为其中，为驻波系数。,第四章,66,衰减特性：当电磁波沿传输方向传播时，由于波导金属壁的热损耗和波导内填充的介质的损耗，必然会引起能量或功率的递减。对于空气介质损耗很小，可以忽略不计，而导体损耗是不可忽略的。设导行波沿z方向传输时的衰减常数为，则沿线电场、磁场按 规律变化，即,第四章,67,所以传输功率按以下规律变化：上式两边对z求导：因沿线功率减少率等于传输系统单位长度上的损耗功率
19、P1，即,第四章,68,比较上两式可得由此可求得衰减常数 。在计算损耗功率时，因不同的导行模有不同的电流分布，损耗也不同，根据上述分析推得矩形波导TE10模的衰减常数公式：,第四章,69,式中，Rs= ，为导体表面电阻，它取决于导体的磁导率 、电导率 和工作频率f。由上式可以看出：衰减与波导的材料有关，因此，要选导电率高的非铁磁材料，使RS尽量小。,第四章,70,增大波导高度b能使衰减变小，但当ba/2时单模工作频带变窄，故衰减与频带应综合考虑。衰减还与工作频率有关，给定矩形波导尺寸时，随着频率的提高先是减小，出现极小点，然后稳步上升。用MATLAB编制了TE10模衰减常数随频率变化关系的计算
20、程序，计算结果如图所示。,第四章,71,第四章,72,4、矩形波导尺寸选择原则选择矩形波导尺寸应考虑以下几个方面因素：1）波导带宽问题保证在给定频率范围内的电磁波在波导中都能以单一的TE10模传播，其它高次模都应截止。为此应满足：,第四章,73,即 或写作当a 2b时，取或写作 2）波导功率容量问题在传播所要求的功率时，波导不致于发生击穿。由 Pbr 式可知，适当增加b可增加功率容量，故b应尽可能大一些。,第四章,74,3）波导的衰减问题通过波导后的微波信号功率不要损失太大。由TE10 模衰减常数随频率变化曲线可知，增大b也可使衰减变小，故b尽应可能大一些。综合上述因素，矩形波导的尺寸一般选取
21、为b=a/2的波导称为标准波导。,第四章,75,4.3 圆 形 波 导圆形波导，简称圆波导，如图示。圆波导具有加工方便、双极化、低损耗等优点，广泛应用于远距离通信、双极化馈源以及微波圆形谐振器等，是一种较为常用的规则金属波导。,第四章,76,1、圆波导中的场与矩形波导一样，圆波导也只能传输 TE和 TM波型。设圆形波导导体内径为a，并建立如图所示的圆柱坐标。1）TE波令且满足,第四章,77,在圆柱坐标中， 上式写作应用分离变量法，令,第四章,78,代入上式，并除以 R ，得要使上式成立，其等式两边必须均为常数，设该常数为m2，则得,第四章,79,上面第一式的通解为,第四章,80,式中， 分别为
22、第一类和第二类m阶贝塞尔函数。,第四章,81,第二式的通解为 式中的后一种表示形式是考虑到圆波导的轴对称性，使导行波的场分布沿方向存在cosm和sinm两种可能分布。它们独立存在，相互正交，截止波长相同，构成同一导行模的极化简并模。,第四章,82,由贝塞尔函数曲线可知，当0时Nm(kc），故通解中必有A2=0 。于是式中H0=A1B，为模式振幅，其大小由激励源决定。,第四章,83,在圆柱坐标中仿照导行波一节中采用的方法，将其在圆柱坐标系中展开，并用纵向场分量来表示横向场量，可得,第四章,84,第四章,85,由边界条件 ，得设 m阶贝塞尔函数的导数 的第 n个根为 ，则有,第四章,86,于是圆波
23、导TE模纵向磁场的基本解为m=0，1，2，；n=1，2，下表给出 的前面几个值：,第四章,87,圆波导H波（TE波）的横向场分量：,第四章,88,由上式可见，圆波导同样存在着无穷多种TE模，不同的m和n代表不同的模式,记作TEmn，式中，m表示场沿半圆周分布的半驻波数，n 表示场沿半径分布的半驻波数或场的最大值的个数。此时波阻抗为式中，,第四章,89,2）TM波通过与TE波相同的分析，可求得TM波纵向电场Ez 的通解为式中， ，是TM波的截止波数。 是m阶贝塞尔函数Jm(x)的第n个根。下表给出 的前几个值：,第四章,90,已知纵向电场，仿照TE波求横向场量的方法，可求得 TM 波横向场分量如
24、下：,第四章,91,第四章,92,可见，圆波导中也可以存在无穷多种TM模。其波型指数 m和 n的意义与TE模相同。总之，场量沿圆周和半径方向均呈纯驻波分布，而且沿圆周按三角函数规律分布，沿半径按贝塞尔函数或其导数的规律分布。场量沿圆周的分布是cosm还是 sinm，这取决于外部激励源和起始角位置的选择。当这些条件确定之后，各分量的表示式也就确定了（包括式子中的正负号和与其相对应的三角函数）。,第四章,93,2、圆波导的传输特性与矩形波导不同，圆波导的TE波和TM波的传输特性各不相同。1）截止波长由前面分析，圆波导TEmn、 TMmn 模的截止波数分别为,第四章,94,式中， 分别为m阶贝塞尔函
25、数及其一阶导数的第 n 个根。于是，各模式的截止波长分别为圆波导中各模式截止波长的分布如图示。由图可见，在圆波导的所有模式中，TE11模截止波长最长，其次为TM01模。,第四章,95,第四章,96,三种典型模式的截止波长分别为：,第四章,97,2）简并模在圆波导中有两种简并模，它们是E-H简并和极化简并。（1）E-H简并由于贝塞尔函数具有 的性质，所以一阶贝塞尔函数的根和零阶贝塞尔函数导数的根相等，即 ，故有 ，从而形成了 模和 模的简并。这种简并称为E-H简并。,第四章,98,（2）极化简并由于圆波导具有轴对称性，对m0的非轴对称模式，cosm和 sinm代表圆波导中能够独立存在的两种波型，
26、这两种波型具有相同的截止波长和传输特性，只是在波导的横截面上场的极化方向不同，这种情况称为极化简并。任意极化方向的电磁波可以看成是偶对称极化波和奇对称极化波的线性组合，如图。正因为存在极化简并，所以波在传播,第四章,99,过程中会由于圆波导细微的不均匀而引起极化旋转，从而导致不能单模传输。但事物总是一分为二的，也正是因为有极化简并现象，圆波导可以构成极化分离器、极化衰减器等。,第四章,100,3）相移常数与波导波长,第四章,101,4）相速度与波阻抗式中,第四章,102,5）传输功率由坡印亭定理，可以导出TEmn模和TMmn模的传输功率分别为：其中，,第四章,103,3、圆波导中几种常用模式由
27、各模式截止波长分布图可知，圆波导中TE11模的截止波长最长，其次是TM01模，另外由于 TE01模场分布的特殊性，使之具有低损耗特点。为此我们主要介绍这三种模式的特点及用途。1）主模TE11模TE11模的截止波长最长，是圆波导中的最低次模，也是主模。它的场结构分布图如图所示。,第四章,104,第四章,105,由图可见，圆波导中TE11模的场分布与矩形波导TE10模的场分布很相似，因此工程上容易通过矩形波导的横截面逐渐过渡变为圆波导，如图所示，从而构成方圆波导变换器。利用TE11波的极化简并模，可以构成一些特殊的波导元件。如在多路通信系统中，收发公用一副天线时，将相互垂直的两个极化波分别用于收和
28、发，以避免收发之间的耦合。,第四章,106,2）圆对称TM01模TM01模是圆波导的第一个高次模，其场分布如图所示。,第四章,107,由于TM01模的场结构具有轴对称性而且易与矩形波导中的TE10波型的场发生耦合，因此常作为雷达天线与馈线连接的旋转关节的工作模式。,第四章,108,3） 模模是圆波导的高次模式。 模的特点是场分布具有轴对称性，波导壁上磁场只有纵向分量，所以只存在方向的管壁电流，无纵向电流。其场结构如图所示。,第四章,109,第四章,110,波的衰减随频率的升高而单调下降，是它突出的特点。为便于比较，上图还给出 三种波的衰减曲线。由于这一特点， 模的圆波导适用于制作高Q值的谐振腔
29、，还可用作毫米波的传输波型。,第四章,111,4.4 波导的激励与耦合前面分析波导中可能存在的电磁场各种模式时，都是假定波导中已经建立了某种稳态电磁场，至于它是怎样建立起来的则未涉及。在波导中建立起所需电磁场的方法，称为波导的激励；而从波导中提取电磁场能量的方法，称为波导的耦合。严格地用数学方法来分析波导的激励和耦合比较困难，这里仅定性地讨论这一问题。,第四章,112,1、探针激励将同轴线的内导体延伸一小段，沿电场方向插入矩形波导内，构成探针激励，如图所示。由于这种激励类似于电偶极子的辐射，故称电激励。,第四章,113,在探针附近，由于电场有Ez分量，场分布与 模有所不同，必然有高次模被激发。
30、但当波导尺寸只允许主模传输时，激发起的高次模快速衰减，不会在波导内传播。为提高功率耦合效率，波导与同轴线的阻抗应当匹配，为此往往在波导一端接上一个短路活塞。短路活塞提供一个可调电抗以抵消高次模电抗。调节探针插入深度 d和活塞位置l，使耦合到波导的功率最大。,第四章,114,2、环激励将同轴线的内导体延伸一小段后弯成环形，将其端部焊在外导体上，然后插入波导中所需激励模式的磁场最强处,并使小环法线平行于磁力线，如图所示。由于这种激励类似于磁偶极子辐射，故称为磁激励。,第四章,115,同样，也可连接一短路活塞以提高功率耦合效率。但由于耦合环不容易和波导紧耦合，而且匹配困难，频带较窄，最大耦合功率也比
31、探针激励小，因此在实际中常用探针耦合。3、孔（缝）激励除了上述两种激励之外，在波导之间的激励往往采用小孔耦合，即在两个波导的公共壁上开孔或缝，使一部分能量辐射到另一波导去，以此建立所要的,第四章,116,传输模式。小孔耦合最典型的应用是定向耦合器。它在主波导和耦合波导的公共壁上开有小孔，以实现主波导向耦合波导传送能量,如图所示。另外通过小孔或缝的激励还可采用波导与谐振腔之间的耦合、两条微带之间的耦合等。,第四章,117,第四章,118,习题： 2.1矩形波导ab23mm10mm,波导内充满空气,信号源频率为10GH2,试求:(1)波导中可以传播的模式;(2)该模式的 。2.2什么叫模式简并?矩形波导和圆形波导中模式简并有何异同?,第四章,119,习题2.3已知圆波导的直径为50mm,填充空气介质，试求:(1) 三种模的截止波长。(2)当工作波长分别为70mm，60mm和 30mm时，波导中出现上述哪些模式？(3)当工作波长为=70mm时，求最低次 模的波导波长。,第四章,120,习题 2.4已知工作波长为8mm，信号通过尺寸为 ab=7.112mm3.556mm 的矩形波导。现转换到圆波导 模传输。要求圆波导与上述矩形波导相速相等，试求 圆波导的直径；若过渡到圆波导后要求传输 模且相速一样，再求圆波导的直径。,
