1、第3章 力学量用算符表达,3.1 表示力学量的算符,作用在一个函数u上得出另一个函数v,，简称为算符:,的运算符号,。如:,是算符，其作用是求导数, xu=v,x是算符，,其作用是与u相乘。,如果算符,作用于一个函数,结果等于,乘上一个常数,:,，则称此方程称为算符,的本征值方程,称,为算符,的本征值,为属于本征,值,的本征函数。,例3.1：,当波函数,表示为坐标(x,y,z)的函数,时，前面已引入,能量算符,，对于定态有本征值,方程,动量算符,，,其在直角坐标系中的三个分量为:, Hamilton算符,，对于定态波函数有本征值方程, 表示坐标的算符就是坐标本身,，,，这是因为,波函数是坐标（
2、x,y,z）的函数。,一般地，如果量子力学中的力学量F在 经典力学中有相应的力学量，则表示这个力,学量的算符,由经典表示式,中将,换为算符,而得出，即,而对在经典力学中没有的力学量（如自 旋等），将另行讨论。,例3.2：在经典力学中，动量为,、对原点,O的位置矢量为,的粒子，它绕O点的角动量,是：,因而，量子力学中，角动量算符,是：,如果算符,表示力学量F，那么当体系,处于,的本征态,时，力学量F有确定值，,这个值就是,在,态中的本征值。,例3.3: 体系处于Hamilton算符,的本征态,时，能量有确定值，这个值就是,在,态中的值。,一维无限深势阱,线性谐振子,自由粒子动量有确定值,，其波函
3、数为,且有,可见，动量的确定值的确为动量算符在其 本征态中的本征值。,习题3.1 下列函数哪些是算符,数，其本征值是什么？,的本征函,量子力学中,力学量为什么要用算符表 示?这是由微观粒子的波粒二象性决定的, 体现在以下几个方面:,力学量的观测值具有不确定性,有一系列 可能取值.但力学量的统计平均值是确定的, 而统计平均值的计算要用到一个新的工具 算符来完成:,在实验上观测某力学量F,它的可能取值,就是算符,的某个本征值-用,将值从,中取,出来。,力学量之间的关系通过相应的算符之间的 关系对易关系反映出来。,总之：知道了体系的Hamilton算符,就可,以从Schrdinger方程解出体系的波
4、函数,，,而知道了体系的波函数,只要知道各力学,量的算符,就可以求出各力学量的可能取值、 取值概率和统计平均值，从而体系是完全 确定的。,所以在量子力学中,力学量要用算符表示。,例题3.4 设粒子在宽为a的一维无限深势阱中 运动，求（1）动量的平均值和（2）动量 平方的平均值。,解：在宽为a的一维无限深势阱中运动的粒 子的波函数为：,（1）,（2）,习题3.2 一维谐振子处在基态,求：,(1)势能的平均值,(2)动能的平均值,对于两个任意函数,和,如果算符,满足,等式:,则称之为线性算符；,则称之为为Hermite算符。,在量子力学中，表示力学量的算符都是 线性Hermite算符。这时由量子力
5、学本身的 规律决定的。,线性性,线性性是由量子力学的基本原理之一: 态叠加原理所决定的。,Hermite性,我们知道,量子力学中讨论的力学量都是可 观测量为实数,这一可观测量都是相应力学量的 统计平均值。,而关于算符我们有,定理3-1：在任何状态下，Hermite算符的 平均值都是实数。,综上，量子力学中，力学量的算符为线 性Hermite算符。,坐标算符和动量算符都是线性Hermite算 符，这是因为:,习题3.4指出下列算符哪个是Hermite算符， 说明其理由。,习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明 理由。,3.2 动量算符和角动量算符,动量算符,动量算符的本征值方程是,其三个直角
6、分量方程为：,其解为：,如何归一化？,归一化为,函数,取,则,归一化为,函数,箱归一化,在一些具体问题中遇到动量的本征值问题时，常常需要把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算，最后再用取极限的方法把分立本征值变回到连续本征值。方法如下：设想粒子被限制在一个边长为L的正方形（也可以是长方形）箱中，取箱的中心作为坐标原点，要求波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值，波函数所满足的这种边界条件称为周期性边界条件。加上这一条件后，动量的本征值就由连续谱变为分立谱：,由,在点A（L/2，y,z）和,点A(-L/2,y,z)处的值相同，有,即Px取分立值。,同样可求得,当 L 时,本征值谱就由分立
7、谱变为 连续谱。,此时，归一化常数可由,求得为,因而,2.角动量算符,角动量算符,在直角坐标系中的三个分量是:,角动量平方算符是:,在量子力学中,常常遇到中心力场问题.此时,用球坐标讨论最为方便。下面导出角动量算符在球坐标下的表达式:,可求得:,从而,在球坐标下:,（3.4）,相应地,可写出,的本征值方程为:,（3.5）,或:,（3.6）,即,是算符,的本征函数,属于本征值,其分离变量形式的解为:,(3.7),式中,是缔合勒让德多项式,是归一化常数。,讨论:,的本征值是,所属的本征函数是,l表征角动量的大小,称为角量子数，l=0,1,2,3,.的态依次称为s,p,d,f,.态, 处于这些态的粒
8、子,依次称为s,p,d,f,.粒子。,即,的本征值是,所属的本征函数也是, m表征角动量在z轴方向的投影的大小,称为磁量子数。,习题3.5一刚性转子转动惯量为I，它的能量 的经典表示式是,对应的量子体系在下列情况下的定态能量 及波函数：,，L为角动量，求与此,转子绕一固定轴转动； 转子绕一固定点转动。,3.3Hermite算符本征函数的正交性,定理3.2 Hermite算符的属于不同本征值的两 个本征函数相互正交。,综合前面的讨论,有:,在力学量的本征值,组成非简并分立,谱时,在力学量的本征值,组成连续谱时,在力学量的本征值,组成有简并的分立,谱时，讨论如下：,如果,的一个本征值,是f度简并的
9、,即属于,的本征函数不止一个,而是f个,记为, 且有,则上述证明不适用,这些函数一般不正交.,但是,我们总可以用f2个常数Aji把这f个函数,线性组合成f个新函数,:,:,使得这些新函数,是相互正交的,这是因为,的正交归一化条件,共有f(f+1)/2方程(其中j=j的归一化条件有f个,jj的正交条件有f(f-1)/2个)，而待定系数有f2个.当f1时f2 f(f+1)/2,即待定系数Aji的数目大于Aji所应满足的方程的数目,故可以有许多种方法选择Aji,使函数,满足正交归一化条件.,显然,仍是,的属于本征值,的本征函数:,组成正交归一系,正交归一本征函数举例:,一维无限深势阱中的波函数,组成
10、正交归一系。,自由粒子的波函数为,满足连续谱的归一化条件:,线性谐振子的能量本征函数为,组成正交归一系。,角动量的z分量算符,的本征函数:,组成正交归一系。,角动量算符,的本征函数:,组成正交归一系。,氢原子的波函数,组成正交归一系,3.4 算符与力学量的关系,问题:当体系处于算符,所表示的力学量有确定的数值,这个数值是 算符在态中的本征值。,的本征态时,算符,如果体系不处于算符,于任意态,此时算符和它所表示的力学量之,的本征态,而是处,间的关系如何?,数学中已证明:如果,是满足一定条件的,Hermite算符,它的正交归一本征函数系是,对应的本征值是,则任一函数,可以按,展开为级数:,（3.1
11、2）,式中cn与r无关,可由,和,求得为,（3.13）,若,已归一化,有,（3.14）,如果,刚好是算符,的某一个本征函,数,如,则上式中的系数除Ci=1外,其余都,等于零。在这种情况下测量力学量F,必定得,到,的结果。,如果,是任意态，,则|ci|2具有概率的意义,它表示在,测量力学量F得到的结果是,态中,的本征值,据此,称ci为概率振幅。 而,概率等于1。,说明总的,综上,我们引进量子力学中关于力学量与,算符的关系的一个基本假定:,量子力学中表示力学量的算符都是 Hermite算符,它的本征函数组成完备系。 当体系处于波函数 所描写的状态时,测量力学量F所得的数值,必定是算符,的本征值之一
12、,测得,的概率是|cn|2。,根据这一假定,力学量在一般状态中没有确定 的数值,而有一系列可能值,这些可能值就是力学 量算符的本征值。每个可能值都以确定的概率出 现。,（其正确性由实践检验）,力学量F在,态中的平均值是：,（3.15）,对于没有归一化的波函数,力学量的平均值为:,（3.16）,例题3.5分立谱情形：一维无限深势阱,描述的状态，求粒子的,中有一粒子处于由波函数,能量的可能取值、相应的概率和平均值。,解：一维无限深势阱的波函数和能级分别为：,n=1 ,2,3 ,将本题的波函数按上述波函数展开，有：,故能量的可能值为：,相应的取值概率为： 1/2 1/2,而能量的平均值：,习题3.6
13、 利用式（3.13）求出例题3.5中的 展开系数。,例题3.6 假设t=0时，粒子的状态为,求此时粒子的平均动量和平均动能。,。,解：,动量的可能值为,动能的可能值,对应的概率,归一化, 动量、动能的平均值为,习题3.7 在一维无限深势阱中运动的粒子， 势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数,描写，A为归一化常数，求粒子的概率分 布和能量的平均值。,3-5 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系,讨论:算符之间的关系及其物理意义.,1.坐标算符,和动量算符,同样可得到:,以及,2.角动量算符,利用坐标和动量的对易关系可求得,上面三式可合写为,此外,有,习题3.8 证明：,3.对
14、易算符与其本征函数之间的关系,定理3.3 如果两个算符,和,有一组共同,本征函数,的本征值都没有简并，则,而且,组成完全系,则算符,和,对易。反之，如果两个算符,和,对易, 且,和,这两个算符有共同的本征函数。,上面的定理和逆定理可推广到两个以上算符 的情况。,有共同本征函数的一组算符,其算符所表示 的力学量同时有确定值。,4.不对易算符和不确定关系,如果两个算符,和,不对易,一般地,它们不能同时有确定值.,不确定关系,对于坐标和动量算符,角动量分量之间,3.6 力学量平均值随时间的变化,如果,不显含时间，则有：,如果,不显含时间且与,对易，则有：,此时我们说力学量,是守恒量。,自由粒子的动量
15、,量子力学中的动量守恒定律,中心势场的角动量,都和,对易,量子力学中的的 角动量守恒定律,不显含时间的体系的能量,量子力学中的能量守恒定律,对空间反演不变，则,宇称守恒,空间反演用算符,表示。,如果,量子力学中的 宇称守恒定律,Virial定理：,处于定态的体系，设其粒子处于势场 V(r)中,则有：,证明：利用习题3.8的结果，有：,对于定态,FeynmanHellmann定理：,设体系的束缚能级和归一化能量本征态 分别为En和n（n为标记力学量完全集的,好量子数）。设,含有一个参数 ，则,证明：能量本征方程为：,视为参变量，上式对求导，有,两边左乘,，对全空间积分，得到,即有,例题3.7 对于一维谐振子，已知,在,态下，求：,解：取,有,即,有,另取,即,据上，可求出：,
