1、第二章 圆锥曲线与方程,2.2.1 椭圆及其标准方程,在生活中，还有另外一种曲线比较常见，例如,运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线,引 言,数 学 实 验,通过图片已经知道了椭圆的形状，能否动手画一个椭圆呢？,先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆.,如果把这一个定点分裂成两个定点，会画出什么图形呢？,数 学 实 验,1.取一条定长的细绳；2.把它的两端固定在图纸上的两点F1、F2；3.用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？,请同学们按照下列操作，动手画一画：,根据刚才的实验请同学们回答下面几个问题：,1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
2、还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,数 学 观 察,思考： 结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？,数 学 归 纳,椭圆定义： 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆.两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距.,数 学 推 理,根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？,先来回忆：求曲线的方程的基本步骤,（1）建系设点;,（2）写出点集；,（3）列出方程；,（4）化简方程；,（5）检验,第一步： 如何建立适当的坐标系呢？,数 学 推 理,想一
3、想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？,方案一,数 学 推 理,设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分 别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a (2a2c0),请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.,解：以焦点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,由椭圆的定义得：,因为
4、,数 学 推 理,方案一,整理得,两边再平方，得,移项，再平方,数 学 推 理,数 学 推 理,它表示焦点在y轴上的椭圆,它表示焦点在x轴上的椭圆,数 学 归 纳,椭圆的标准方程有哪些特征呢？,椭圆的标准方程的特征：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;,（3）椭圆的标准方程中a、b、c满足a2=b2+c2,（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上;,数 学 归 纳,例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,例 题 演 练,
5、例 题 演 练,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,所以,思考？能用其他方法求它的方程么？,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为:,又焦点的坐标为,例 题 演 练,1.已知F1、F2是椭圆 的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M、N两点，则三角形MNF2的周长为 .,课 堂 练 习,20,2.已知椭圆的两个焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点，求椭圆的方程 .,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,课堂小结,最后回忆一下本节课的主要内容,课后作业：,1.在椭圆的定义中，若a=c能得到什么图形？若ac能得到什么图形？,2.查查资料，看看椭圆还有其他的定义方法么？,
