1、第三章 空间向量与立体几何,3.2 立体几何中的向量方法（三）,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,向量的有关知识：,两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b,两向量夹角公式：cos a,b =,直线的方向向量：与直线平行的非零向量,平面的法向量：与平面垂直的向量,练习 如图，
2、60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库
3、底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,思考：,（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？,分析：, 可算出 AB 的长。,（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：如图，设以顶点 为端点的对角线长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。,（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？,A1,B1,C1,D1,A
4、,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，,E,F,在平面 AC 内作 CFAB 于 F。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,空间“夹角”问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为 , 则,例2,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,练习：,在长方体 中，,二面角的平面角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为其中AB,D,C,L,B,A,注意法向量
5、的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则二面角 的大小 ,若二面角 的大小为 , 则,法向量法,二面角的平面角,例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,故,则可设 =1， ，则B(0,1,0),作 于E, 于F，则 即为二面角 的大小,在 中， 即E分有向线段 的比为,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值为,解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,即二面角 的余弦值为,方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,2. 线面角,2. 线面角,l,设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则,
