1、第三章 空间向量与立体几何,3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,问题：,我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）.对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,一、空间向量的坐标分解,给定一个空间坐标系和向量 且设 为空间两两垂直的向量，设点Q为点P在 所确定平面上的正投影,由平面向量基本定理有,一、空间向量的坐标分解,由此可知,如果 是空间两两垂直的向量,那么,对空间任一向量 , 存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量.,空间
2、向量基本定理：,都叫做基向量.,注:,如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在有序实数组x,y,z使,探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ,你能得出类似的 结论吗？,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：,（2 ）由于可视 为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着它们都不是 .,（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.,推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实
3、数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。,二、空间直角坐标系,x,y,z,e1,e2,e3,O,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一向量 ,平移使其起点与原点o重合,得到向量OP=P由空间向量基本定理可知,存在有序实数组x,y,z使 P =xe1+ye2+ze3,此时向量P的坐标恰是点P在直角坐标系oxyz中的坐标(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.,x,y,z,O,P(x,y,z),e1,e2,e3,在空间直角坐标系O x y z 中，对空间任一点P, 对应一个向量 ,于是存在唯一的有序实数组 x, y, z,使 (如图).,显然, 向量 的坐标，就是点P在此空间直角坐标系中的坐标(x,y,z).,x,y,z,O,P(x,y,z),也就是说,以O为起点的有向线段 (向量)的坐标可以和终点的坐标建立起一一对应的关系,从而互相转化.,我们说,点P的坐标为(x,y,z),记作P(x,y,z)，其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的纵坐标,z叫做点P的竖坐标.,e1,e2,e3,例题讲解,2、已知向量a，b，c是空间的一个基底求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底,练习,练习3,
