1、1立体几何多面体与外接球问题专项归纳1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为 4,棱柱的体积为 16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是( )A.16 B.20 C.24 D.322、一个正四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )2A.3 B.4 C.3 D.633.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.24.一个正四面体的所有棱长都为 ,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )2A.3 B.4 C.3 D.6331、答案:C解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为 2,2,4.所以其外接球的半径
2、 R= .所以球的表面积是 S=4R2=24.4622、答案:A 以四面体的棱长为正方体的面对角线构造正方体,则正方体内接于球,正方体棱长为 1,则体对角线长等于球的直径,即 2R= ,3所以 S 球 =4R2=3.3、解将半球补成整个的球（见题中的图）,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.设原正方体棱长为 a,球的半径为 R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即 4R2=6a2.所以 R= a.从而 V 半球 = R3= = a3,326V 正方体 =a3.因此 V 半球 V 正方体 = a3a 3= 2.4答案:A解析:以 PA,PB,PC 为棱作长方体,则该长方体的外接球就是三棱锥 P-ABC 的外接球,所以球的半径 R= =2,所以球的表面积是 S=4R2=16.21(6)3
