1、 圆周运动模型处理圆周运动问题应注意两个关键环节：一是确定轨迹圆，二是分清向心力来源。常见的有两大类型：一、水平面内的圆周运动（匀速圆周运动）（1）运动实例：圆锥摆、火车转弯、水平转台等（2）特点分析：运动轨迹是圆，且在水平面内；向心力的方向水平，竖直方向的合力为零。（3）解题方法：受力分析 确定向心力的来源 确定圆心和半径 应用相应规律列方程求解。临界状态问题处理时，一定要注意向心力的特点。例：如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为 m 的小物体A、B，A、B 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴 OO距离分别为 RA=20cm，R B=30cm。A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力
2、的 0.4倍，试求：（1）当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度 0。（2）当 A 开始滑动时，圆盘的角速度 。（3）当即将滑动时，烧断细线， A、B 状态如何？解析：（1）当细线上开始出现张力时，表明 B 与盘间的静摩擦力达到最大，设此时圆盘角速度为 0，则 ，解得 20Bkmgr0.410=3.73Bkgradsrsr（2）当 A 开始滑动时，表明 A 与盘的静摩擦力也达到最大，设此时盘转动加速度为 ，线上拉力为 FT，则对 A： 对 B：2fmTAFr 2fmTBr以上两式中， =ffBmkg解以上三式，得 4rads（3）烧断细线，A 与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为的圆周运动，而
3、 B 由于 不足以提供必要的向心力而作离20rcfbmF心运动。二、竖直面内的圆周运动(非匀速圆周运动) 求解竖直平面内圆周运动问题的思路是：1、定模型：判断是轻绳模型还是轻杆模型2、确定临界点：对轻绳模型是否通过最高点的临界速度 ；vgR对轻杆模型 FN 表现为支持力还是拉力，临界速度 0,NFm3、研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。4、受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程， 合 向=F5、过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。例：如图所示，半径 r=0.5m 的光滑圆轨道被竖直固定在水
4、平地面上，圆轨道最低处有一小球（小球的半径比 r 小很多） 。现给小球一个水平向右的初速度 v0，要使小球不脱离轨道运动，v 0 应满足（ ）A、 B、 0025vmsC、 D、5vms1解析：小球不脱离圆轨道，有两种情形：（1）小球能通过最高点，此种情形小球上升到最高点的速度满足条件 vgr小球从最低点运动到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有 2201mvr解得 5gms（2）小球上升的高度 hr小球从最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有解得 201mvgr0210vgrms故选 CD（2017 年全国 卷 17 题）如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小
5、物块以速度 从轨道下端滑入v轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为（重力加速度为 ） （ ）gA、 B、 C、 D、216vg28vg24v2vg解：答案 A。设轨道半径为 ，物块从轨道上端飞出时的速度为 ，由于轨道R1v光滑，根据机械能守恒定律有 ，221mgRm物块从轨道上端水平飞出后做平抛运动，对运动分解有：，求得 ，1,xvt2=Rgt2416vxg因此由数学知识知当 时， 取最大值，B 正确，A、C、D 错误。8v（2016全国 卷。16 题）小球 和 用不可伸长的轻绳悬挂在天PQ花板上， 球的质量大于 球的质量，悬挂 球
6、的绳比悬挂 球的绳P Q短。将两球拉起，使两球均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点， （ ）A、 球的速度一定大于 球的速度PQB、 球的动能一定小于 球的动能C、 球所受绳的拉力一定大于 球所受绳的拉力D、 球的相信加速度一定大于 球的向心加速度P解：答案 C由机械能守恒定律可知， ，则 ，由题给条件21mglvgl， ，因此 球的速度一定小于 球的速度，A 错误；PQmPllQ小球在最低点的动能为 ，又因 球质量大于 球质量，二速21vP度小于 球速度，因此 球的动能不一定小于 球的动能，B 错误；由向心力公式可得， ，又 ，因此 ，2-vFmglgl=3Fmg球质
7、量大于 球质量，故 C 正确；PQ由向心加速度公式得， ，即在最低点 、 两球的向2vaglPQ心加速度相等，D 错误。（2016 年全国 。20 题）如图，一固定容器的内壁是半径为 的R半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为 的质点 。它在容器mP内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 。重力W加速度大小为 。设质点 在最低点时，向心加速度的大小为 ，容gPa器对它的支持力大小为 ，则（ ）NA、 B、2()mRWa2mgRaC、 D、3gN()W解：答案 AC从最高点到最低点，由动能定理可知 ，由向心P 21mgRv力公式 得， ，故 A 正确，B 错误；2vaR()mgWR
8、在最低点由牛顿第二定律得 ，得 ，故 C-Na32gWR正确，D 错误。（2016 年全国 。24 题）如图，在竖直平面内有 圆弧 和 圆14AB12弧 组成的光滑固定轨道，两者在最低点 平滑连接。 弧的半径BCB为 ， 弧的半径为 。一小球在 点正上方与 相距 处由静止开R2RA4R始自由下落，经 点沿圆弧轨道运动。A（1） 求小球在 、 两点的动能之比；B（2） 通过计算判断小球能否沿轨道运动到 点。C解：（1）设小球的质量为 ，小球在 点的动能为 ，小球在 点mAKAEB的动能为 ，KBE由机械能守恒得 4KARg 1 54KBRmg 2由 式得 1 2 5BKAE 3（2）若小球能沿轨
9、道运动到 点，小球在 点所受轨道的正压力C应满足 设小球在 点的速度大小为 ，由牛N0 4 Cv顿运动定律和向心加速度公式有 +2CmvNgR 5有 式得， 应满足 4 5 Cv2Cvmg 6由机械能守恒有 214CRmgv 7由 式可知，小球恰好可以沿轨道运动到 点。 6 7（2014 年全国 卷。20 题）如图，两个质量均为 的小木块 和ma（可视为质点）放在水平圆盘上， 与转轴 的距离为 ， 与转b aOlb轴的距离为 。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块受到重力的 倍，2l k重力加速度大小为 。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢的加速转动，g用 表示圆盘转动的加速度，下列说法正确的是（ ）A、
10、一定比 先开始滑动baB、 、 所受的摩擦力始终相等C、 是 开始滑动的临界角速度=2kglD、当 时， 所受摩擦力的大小为3lakmg解：答案 AC设圆盘转速达到 时，圆盘上的物块刚好开始滑动。由牛顿第二max定律和圆周运动的规律有 式中，2maxmaxfkgr 1是物块的质量，是物块到转轴的距离， 是物块与圆盘的最大静mf摩擦力。由上式得物块开始滑动的临界角速度为 max=kgr 2由 式可知，物块 开始滑动时圆盘的转速小于物块 开始滑动 2 b时圆盘的转速，选项 A 正确， 若圆盘转速 ，物块所受到的静摩擦力为max2（ )frrkg 3它与物块到转轴的距离成正比，选项 B 错误； 由
11、式可知，物块 开始滑动的临界角速度为 ，选项 C 正确； 2 b=2kgl物块 开始滑动的临界角速度为 ，a=kgl由 式可知，当 时， 所受摩擦力的大小为 ， 3 2=3kglla23kmgf选项 D 错误。（2014 年全国 卷。17 题）如图，一质量为 的光滑大圆环，用M一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为 的圆环（可是为m质点） ，从大环的最高处由静止滑下。重力加速度大小为 。当小环g滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为（ ）A、 B、5Mgm+MgmC、 D、+10解：答案 C小环从最高点下落到最低点时，系统的机械能守恒，根据机械能守恒定律有 ，21=mgRvA小环在最低
12、点时，受竖直向下的重力 ，大环对小环竖直向上的弹mg力 ，由牛顿第二定律有 ，解得 。F2-=vFR=5F大环共受三个力作用：竖直向下的重力 ，小环对大环向下的压Mg力 ，轻杆对大环竖直向上的拉力 ，对大环有 ，有牛顿 TTF第三定律 ，得 ，C 正确。=F5TMgm（2013 年全国 卷。21 题）公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速度为 时，0v汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处（ ）A、路面外侧高内侧低B、车速只要低于 ，车辆便会向内侧滑动0vC、车速虽然高于 ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D、当路面结冰时，与
13、未结冰时相比， 的值变小0v解：答案 AC根据题意，速率为 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋0v势，可知汽车转弯时所需的水平的向心力，只有汽车所受的重力和地面的支持力的合力提供，且合力要指向弯道的内侧，所以路面外侧高内侧低，选项 A 正确；设拐弯处斜面倾角为 ，弯道的半径为 ，汽车质量为 ，对汽车Rm进行受力分析，汽车受到重力 ，方向竖直向下，斜面对汽车的支G持力 ，方向垂直斜面向上，两力的合力指向水平面圆周的圆心，N则由牛顿第二定律有： 。汽车恰好没有向公路的内20tanvmgR外两侧滑动的趋势时，其临界速度为 ， 与弯道半径及0=tang0v斜面倾角有关，弯道半径越小， 越小， 越小
14、，临界速度 越小，v0与路面的粗糙程度无关，选项 D 错误；0v当车速高于 时，紧靠 不足以提供所需的向心力，汽车有0vtanmg向外滑动的趋势，此时路面的汽车的静摩擦力不为零，方向沿斜面向下，参与提供向心力；汽车速度越大，所需的静摩擦力越大，如果转弯时速度过大，大于 和最大静摩擦力所能提供的向心力，tang则汽车将做离心运动，因此车速虽然高于 ，但只要不超过某一最0v高限度，车辆便不会向外侧滑动，选项 C 正确；若车速低于临界速度，则重力和地面对汽车的支持力的合力大于向心力，汽车有向内侧滑动的趋势，此时路面的汽车的静摩擦力不为零，方向沿斜面向上，抵消一部分多出来的向心力，只要重力和地面对汽车
15、的支持力的合力不大于最大静摩擦力，汽车就不会向内运动，选项 B 错误。例题：A 、B 两轮经过皮带传送（不打滑） ，C 轮与 A 轮同轴，它们的半径之比分别为 ，如图所示，求：:1:23ABCR（1）三轮边缘的线速度之比 ；ABCv（2）三轮的角速度之比 ；:（3）三轮边缘的点的向心加速度之比 。:ABCa解：（1）由于 A、B 两轮是通过皮带传送，故 ，而 A、C:=1:ABv两轮固定在同一轴上， ，则由 可知，=ACvR，所以 。:=:1:3ACvR:=1:3BC（2）由于 ，而 A、B 两轮边缘线速度大小相等，则由AC可知， ，所以 。:=:2:BR:=2:1ABC（3）因为向心加速度 ，所以 。av6a
