1、8如图，已知 E 是菱形 ABCD 的边 BC 上一点，且DAE= B=80，那么CDE 的度数为（ ）A 20 B 25 C 30 D 35考点： 菱形的性质分析： 依题意得出 AE=AB=AD， ADE=50，又因为 B=80故可推出ADC=80 ，CDE=ADCADE，从而求解解答： 解：ADBC，AEB=DAE=B=80，AE=AB=AD，在三角形 AED 中，AE=AD， DAE=80，ADE=50，又B=80，ADC=80，CDE=ADCADE=30故选 C点评： 本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质已知菱形 ABCD 的边长
2、是 8，点 E 在直线 AD 上，若 DE3，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M，则 的值是 .CA图1MEDB CA图2MEDB CA6.如图，两条笔直的公路 l1、l 2相交于点 O，村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知 AB=BC=CD=DA=5 公里，村庄 C 到公路 l1的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路l2的距离是【 】A、3 公里 B、4 公里 C、5 公里 D、6 公里7.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60，若 DEAB，垂足为点 E，则 DE 的长为 2.如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60，若 DEAB，垂足为点
3、 E，则 DE 的长为 例 5.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂直平分线分别与 AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接 CE。ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO， 。又AO=CO，AEOCFO（AAS） 。AE=CF。四边形 AECF 是平行四边形。又EFAC，平行四边形 AECF 是菱形。AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由已知，根据 AAS 可证得AEOCFO，从而得 AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形
4、 AECF 是平行四边形。由 EFAC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形 AECF 是菱形。根据菱形四边相等的性质和 AE=AF。3.如图，菱形 ABCD 的周长为 20cm，且 tanABD= ，则菱形 ABCD 的面积为43 cm 2例 1.如图，菱形纸片 ABCD 中，A=60 0，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A、D处，且AD经过 B，EF 为折痕，当 DF CD 时， 的值为【 】CFA. B. C. D. 312362316318【答案】A。【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】延长
5、 DC 与 AD，交于点 M，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，DCB=A=60，ABCD。D=180-A=120。根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180-ADF=60。DFCD，DFM=90，M=90-FDM=30。BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。BC=CM。设 CF=x，DF=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在 RtDFM 中，tanM=tan30= ， 。DF y3M2x-1xy2 。故选 A。CF x3-1Dy2例 2.如图，菱形 ABCD 中，AB=AC，点 E、F 分别
6、为边 AB、BC 上的点，且 AE=BF，连接CE、AF 交于点 H，连接 DH 交 AG 于点 O则下列结论ABFCAE，AHC=120 0，AH+CH=DH，AD 2=ODDH 中，正确的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。【分析】菱形 ABCD 中，AB=AC，ABC 是等边三角形。B=EAC=60 0。又AE=BF，ABFCAE（SAS） 。结论正确。ABFCAE，BAF=ACE。AHC=180 0（ACECAF）=180 0（BAFCAF）=1800BAC
7、=180 060 0=1200。结论正确。如图，在 HD 上截取 HG=AH。菱形 ABCD 中，AB=AC，ADC 是等边三角形。ACD=ADC=CAD=60 0。又AHC=120 0，AHCADC =120 060 0=1800。A，H，C，D 四点共圆。AHD=ACD =60 0。AHG 是等边三角形。AH=AG，GAH=60 0。CAH=60 0CAG=DAG。又AC=AD，CAHDAG（SAS） 。CH=DG。AH+CH= HG+ DG =DH。结论正确。AHD =OAD=60 0，ADH=ODA，ADHODA。 。ADHOAD 2=ODDH。结论正确。综上所述，正确的是。故选 D。
8、例 5.已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作MECD 于点 E，1=2（1）若 CE=1，求 BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME【答案】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ABCD。1=ACD。1=2，ACD=2。MC=MD。MECD，CD=2CE。CE=1，CD=2。BC=CD=2。（2）证明：F 为边 BC 的中点，BF=CF= BC。CF=CE。12在菱形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACB=ACD。在CEM 和CFM 中，CE=CF，ACB=ACD，CM=CM，CEMCFM（SAS） ，ME=MF。延长 AB
9、交 DF 于点 G，ABCD，G=2。1=2，1=G。AM=MG。在CDF 和BGF 中，G=2，BFG=CFD，BF=CF，CDFBGF（AAS） 。GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】 （1）根据菱形的对边平行可得 ABD，再根据两直线平行，内错角相等可得1=ACD，所以ACD=2，根据等角对等边的性质可得 CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 CE=DE，然后求出 CD 的长度，即为菱形的边长 BC 的长度。（2）先利用 SAS 证明CEM 和CFM 全等，根据全等三
10、角形对应边相等可得ME=MF，延长 AB 交 DF 于点 G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得 AM=GM，再利用 AAS 证明CDF 和BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 GF=DF，最后结合图形 GM=GF+MF 即可得证。例 3.如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】A 1 B C 2 D 133【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析：（1）若点 P，Q
11、固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的对称点 P1，连接P1Q，交 BD 于点 K1。由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1 = P K1，P 1K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1KQKP 1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。此时的 K1就是使 PK+QK 最小的位置。（2）点 P，Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上，即不论点 P 在 BC 上任一点，点 P1总在 AB 上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1QAB 时 P1Q 最短。过点 A 作 AQ1DC 于点 Q1。 A=120，DA Q 1=30。又AD=AB=2，P 1Q=AQ1=ADcos300= 。32综上所述，PK+QK 的最小值为 。故选 B。
