1、第 1 页 共 4 页应 用 数 学 方 法 求 物 理 极 值 问 题宁 夏 中 卫 市 第 一 中 学 闫 保 臻在物理和数学的关系中，很多时侯都把物理比喻成皇帝，数学比喻成皇后，不能分开。一个物理学家他首先是一个数学家。数学是科学的语言，它能简洁、准确地表达物理概念和推导证明物理规律，是物理学的重要工具，物理是数学的灵魂。运用数学方法解决物理问题的能力是新课程改革高中物理教学的目标之一，同时也是新高考能力考查目标之一，数学掌握的好可以帮助我们更加简捷的解决物理问题。下面，笔者就运用数学方法在物理极值求解中的常用方法总结如下。一、用一元二次方程判别式求解极值一元二次方程，当它的判别式 B2
2、-4AC0 时，此方程有实数解。若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。例题 1：一水枪需将水射到离喷口的水平距离为 3m 的墙外，从喷口算起，墙高 4m，若空气阻力不计，取 。求：所需的最小初速度及对应的喷射仰角。2/0smg分析：本题的解题思路是根据题目描述的物理情景，写出喷射速度的的数学表达式，再用数学工具进行求解。解答：设喷射速度为 v ，喷射仰角为 ，根据题意得：在水平方向：3=vcos t 竖直方向：4=vsin t 21gt联立、消去时间 t，可以得到喷射出的水的轨迹方程为4=3tan ，该式中含有两个未知量 和
3、 v,现以 tan 为变量，以 v 参量，化简2cos45v 该式得： 2tan0145ta12v要使式有解，必须要使其判别式大于等于零，即：b 2-4ac ，在上述方程中，a=1、b=0、c= ，所以 b24ac=（ ） 241（ ） 152v421v145v该不等式只含有一个未知量 v，解 式可以得到 v 的有效解为： m/s，所以喷射的最小90速度为： m/s 。将 m/s 代入得 tan =3,所以最小的喷射速度对应的仰角90minv90min为： = 。3arct二、利用均值不等式求解极值任意两正数 a、b，若 a+b=恒量，则其乘积 ab，当且仅当 a=b 时为极大；若 ab=恒量
4、，则其和 a+b，当且仅当 a=b 时为极小。例 2： 如图 1 所示，侧面开有小孔 S 的量筒中注满水，高为 h 的量筒放在高为 H 的平台上，问小孔应开在何处，从孔中喷出的水可以达到最远？第 2 页 共 4 页最大射程为多大？解：设小孔 S 的位置离地面的高度为 y，水的水平射程为 x，并设某时刻质量为 m 的水由小孔喷出，做初速度为 v0 的平抛运动，经过时间 t 落地，根据运动学知识可得： 喷出水的动能相当于它从水面处下落 tvx021gty )(yHh高度重力所做的功 ，由机械能守恒定律： )(yHhmg201mv联立、可得： 由数学中的均质不等式可得，当)(2yx即： 时，水平射程
5、有最大值， )(yHhyh hxma所以当小孔 S 开在高为 处时，喷出水的射程最大，最大射程为2 H三、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin ”的形式，则 y= Asin2，在 =45 时，y 有极值 。cos212A对于复杂的三角函数，例如 y=asin+bcos，要求极值时先需要把不同名的三角函数 sin 和 cos，变成同名的三角函数，比如 sin(+) 。这个工作叫做“化一” 。首先应作辅助角如图 2 所示。考虑 asin+bcos ( )cossin22baba (cossin +sincos) si
6、n(+) 其最大值为 。2ba 2ba例 3： 如图 3 所示，质量为 10kg 的木箱，置于水平地面上，它与地面间的滑动摩擦因数，受到一个与水平方向成 角斜向上方的拉力 F，为了使木箱作匀速直线运动，拉力 F最小值是多少？分析与解 对木箱受力分析如图 3，由平衡条件得， ，而mgFNsinfFcosNf由以上各式联立得 ing第 3 页 共 4 页，其中 、)sin(1sinco2 21sin21cos将 代入上式得 所以，当 =30 0 时，3 )60si(32sico有最大值 ，此时 F 有最小值 sinco32ming四、利用图像法求解极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的
7、函数关系，做出其图像，由图像可求得极值。例 4：从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用 20 秒，前进了 50 米。求这过程中汽车达到的最大速度。解：设最大速度为 vmax,即加速阶段的末速度为 vmax：画出其速度时间图像如图 4 所示，图线与 t 轴围成的面积等于位移。即：即：mVtS21 sm（Vm/52015解 得五、利用配方法求极值根据题目已知条件和具体要求，将要求解的量用一定的函数表达式表示出来，再观察表达式的结构，巧妙地进行配方，然后就可以求出变量的最大值或最小值。例 5：如图 5 所示的电路中，
8、R 0 为定值电阻，可变电阻的总阻值为R，电流表内阻不计，电压 U 固定不变，分析并计算：滑片 P 移至何处时电流表示数最大，最大值是多少？滑片 P 移至何处时电流表示数最小，最小值是多少？解：设回路总电流为 ，通过电流表的电流为 ， ，则IAIxRaP，根据并联电路的特点 ，所以xRPb )(0AIx)(000 RxUIIA 整理式 20RIA对式进行配方可得： )20R（xUIA第 4 页 共 4 页当 时，式的分母有最大值，此时 即当滑片 P 滑到 R 的正中间时，2Rx 420minRUIA电流表 的读数有最小值；当 或 时，式有最大值， 既当滑片 P 滑到 R 的0xRIAmax最左端或最右端时，电流表的读数有最大值。 总之，解决一个问题的方法可以是多方面的，但适当的选取合理有效的方法可发让我们少走弯路，少花时间，并对于一些巧妙的物理问题则必须采取一些有效而适当的方法进行求解，希望大家在学习中多思考、多总结。姓名：闫保臻 工作单位：宁夏中卫市第一中学 邮编：755000 电话：13256971853 电子邮箱：
