1、量子力学小结,第一章 绪论（小结） 第二章 波函数和薛定谔方程（小结） 第三章 量子力学中的力学量（小结） 第四章 态和力学量的表象（小结） 第五章 微扰理论（小结） 第七章 自旋与全同粒子,第一章 绪论（小结）,1、经典物理的困难黑体辐射，光电效应，原子光谱线系,2、旧量子论 普朗克能量子论 爱因斯坦对光电效应的解释；光的波粒二象性；光电效应的规律；爱因斯坦公式 ：,光子能量动量关系 ：,玻尔的原子理论 量子化条件 ：,定态的假设、频率条件 ：,3、微观粒子的波粒二象性,德布罗意关系,戴维孙,革末等人的电子衍射实验验证了德布罗意关系。,4、量子力学的建立,物质波薛定谔方程非相对论量子力学相对
2、论量子力学量子场论,第二章 波函数和薛定谔方程（小结）,1量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2波函数统计解释：,若粒子的状态用 描写， 表示在t时刻，空间 处 体积元内找到粒子的几率（设 是归一化的）。,3态叠加原理：设 是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加：,也是体系的一个可能状态。,若体系处于 态，我们讲体系部分处于态。,4波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：,当势场 不显含 时 ，其解是定态解：,满足定态薛定谔方程 ：,其中,定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。,5波函数的归一化条件：,相对几率分布：,波函数存在常数因子不定性；相位因子不定性。,6波函数标准条件：波函数一般
3、应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。,7几率流密度,与几率密度,满足连续性方程：,8一维无限深方势阱,本征值,本征函数,若,则本征值,本征函数,9三维无限深方势阱,可以用分离变量法求解得到,本征值,本征函数,10一维谐振子,本征值,本征函数,11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。,12、势垒贯穿,隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。,第三章 量子力学中的力学量（小结）,1量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。 2.厄米算符A的定义：厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不
4、同本征值的本征函数一定正交。 力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备等条件。,3力学量的测量值： 在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值； 在非的本征态 中测量F，可能值是F的本征值。将 用算符F的正交归一的本征函数 展开：则在 态中测量力学量F得到结果为 的几率为 ，得到结果在 范围内的几率为:。,力学量的平均值是:或,4 连续谱的本征函数可以归一化为 函数。 5简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。 简并度： 算符的属于本征值 的线性无关的本征函数有f个，我们称 的第n个本征值 是f度简并的。 6 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)
5、正交归一性,7 角动量 分量 本征函数 的本征值 8 平面转子（设绕 轴旋转） 哈密顿量 能量本征态 能量本征值,9 有共同的本征函数球谐函数：中心力场中，势场 ， 角动量 为守恒量。1,10中心力场中，定态薛定谔方程选 为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为11氢原子,类氢离子 12 守恒力学量的定义：若 （即力学量的平 均值不随时间变化），则称 为守恒量。 力学量 的平均值随时间的变化满足因而力学量 为守恒量的条件为：且,13宇称算符 宇称算符的定义： ， 本征值，本征函数。 14 对易式定义： 15 对易式满足的基本恒等式：（Jacobi恒等式）,16 一些重要的对易关系：,17若算符
6、 对易，即 ，则 和 有共同的本征函数系。在 和 的共同的本征函数表示的态中测量 ，都有确定值。 若算符 不对易，即 ，则必有简记为 特别地，,第四章 态和力学量的表象小结,1 表象是以 的本征函数系 为基底的表象，在这个表象中，有,算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是: 选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。 平均值公式是： 归一化条件是： 本征值方程是：2 在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足 ；态的变换是 ；算符的变换是 。幺正变换不改变算符的本征值。 3 量子态可用狄拉克符号右矢 或左矢 表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且运算简洁。,基矢
7、的封闭性： 坐标表象 狄拉克符号,4粒子占有数表象 以线性谐振子的粒子数算符N或者哈密顿的本征态 为基矢的表象。,粒子数算符：,湮灭算符：,产生算符：,第五章 微扰理论小结,1定态微扰理论 适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求的 本征值和本征函数已知或较易计算，另一方面又要求 把的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即,（1）非简并情况：,其中，能量的一级修正 等于 态中的平均值。 （2）简并情况 能级的一级修正由久期方程 即给出。 有 个实根，记为,分别把每一个根 代入方程 ，即可求得相应的解，记为 ，于是得出新的零级波函数2变分法
8、 选择尝试波函数 ，计算 的平均值 ，它是变分参量 的函数，由极值条件 定出 ，求出 ，它表示基态能量的上限。,相应能量为,3.与时间有关的微扰理论,（1）由 的跃迁几率是（在一级近似下）,此公式适用的条件是,对于,（2）能量和时间的测不准关系：,（3）偶极跃迁中角量子数与磁量子数的选择定则,例题1、设在H0表象中， 的矩阵为：,试用微扰论求能量的二级修正。,解：本题的意义在于：并不知道无微扰算符 ，微扰 和总的（一级近似）哈氏算符 的形式，也不知道零阶近似波函数 的形式，知道的是在 表象中 的矩阵。但仅仅根据这矩阵的具体形式，按习惯用代表字母的涵义，可以知道几点：,（1）能量本征值是分立的（
9、因为用分立矩阵表示，若是连续能量本征值，不能用此表示法），无微扰能量本征值有三个 ，本征函数 。因,（2）微扰算符的的矩阵是,根据无简并微扰论，一级能量修正量是：,从（2）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量：,又二级能量公式是：,所需的矩阵元已经直接由式（2）表示出，毋需再加计算，因而有：,例2、设在H0表象中,用微扰论求能量修正量（到二级近似），严格求解与微扰论计算值比较。,解：直接判断法：题给矩阵进行分解，有,从矩阵（3）知道一级修正量（用对角矩阵元）和二级修正量（用非对角矩阵元）仿前一题，直接写出两个能级（正确到二级修正量）,严格求解法：这就是根据表象理论，分立表象中，本征方
10、程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用单列矩阵表示）。,我们设算符H（1）具有本征矢 ，本征值是 ，列矩阵方程式：,展开后成两式,又假设本征矢是归一化的：,（5）式有 非平凡解的条件是：,（7）,后一式可展开,（8）,（7）是正确本征值解，共有二个，以符号 来区别。,（8）的级数展开式可分写为,中断在第三项的时侯便是二阶近似值，这由对比便能知道两个能级近似值的绝对误差是有下述上限的。,第七章 自旋与全同粒子,1电子自旋 电子自旋假设的两个要点： （1） （2）,内禀磁矩的值即玻尔磁子的值：,斯特恩盖拉赫实验证明了原子具有磁矩和电子自旋。,2.自旋算符和自旋波函数 （1）自旋算
11、符与Pauli矩阵 ：,对易关系：,（单位算符）,（2）自旋波函数（200-203页）考虑电子的自旋后，电子的波函数是二行一列矩阵：,当电子的自旋与轨道相互作用可以忽略时，电子的波函数可以写为：,的本征函数：,（3）两电子体系的自旋波函数：,算符,3、 两个角动量的耦合,若 是两个独立的角动量，则 也是角动量。,C-G系数的性质： ，,j的取值,4、全同粒子 （1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。 （2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可
12、观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。 这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性 或者交换反对称性。,（3） 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。 玻色子：自旋为整数倍（ ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如介子（ ），光子（ ）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。,费米子：自旋为 半奇数倍（ ）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是反对称的，例如电子，质子，中子等。它们遵守Fermi 统计，称为Fermi子。,由“基本粒子”组成的复杂粒子，例如粒子（氦核）或其它原子核，如在讨论的问题或过程中
13、内部状态保持不变，即内部自由度完全被冻结，则全同性概念仍然适用，也可以当成一类全同粒子来处理。如果它们是由Bose 子组成，则仍为Bose子。如它们由奇数个Fermi 子组成，则仍为Fermi子；但如由偶数个Fermi子组成，则构成Bose子。,（4）Pauli不相容原理：不容许有两个或两个以上的全同Fermi子处于同一个单粒子态。,例题1.设自由粒子的动能为，粒子的速度远小于光速，求其德布罗意波长。,例题2. 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，即：求阱中粒子的波函数和能级的表达式。,例题3.（ 2.1）.证明在定态中，几率流密度与时间无关。,例题4.（2.5 ）求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。,例题5. 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。,例题6.下列函数哪些是算符 的本征函数，其本征值是什么？,例题7试求算符 的本征函数。,例题8.试证明厄密算符的本征值为实数。,例题9.证明：属于不同本征值的两个本征函数相互正交。,
