1、理科数学 第 页（共 4 页）12017 年普通高等学校招生全国统一考试（III 卷）理科数学1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则 AB 中元素的个数为|),(1|),(2xyByxA，A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. 设复数 z 满足(1 + i)z = 2i，则| z | =A. B. C. D. 221223. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待 游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图。根
2、据该折线图，下列结论错误的是A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7、8 月D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4. (x + y)(2x - y)5 的展开式中 x3y3 的系数为A. -80 B. -40 C. 40 D. 802017.6理科数学 第 页（共 4 页）25. 已知曲线 C： 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆 有公共焦点，)0,(12bayx xy25132yx则 C 的方程为A. B. C. D. 1082yx 1542yx 1452yx 1342yx6. 设函数
3、，则下列结论错误的是)3cos()fA. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称(xf2)(xfy38xC. 的一个零点为 D. 在 单调递减)f 6xf,27. 执行右面的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 2 8. 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A. B. 43C. D. 29. 等差数列a n的首项为 1，公差不为 0，若 a2、a 3、a 6 成等比数列，则a n前 6 项的和为A. -24 B. -3 C. 3 D. 810. 已知椭圆 C： 的左、右顶点分别为
4、 A1、A 2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线)0(12bayx相切，则 C 的离心率为0abyA. B. C. D. 363323111. 已知函数 有唯一零点，则 a =)e(2)(1xaxf理科数学 第 页（共 4 页）3A. B. C. D. 121312112. 在矩形 ABCD 中，AB = 1，AD = 2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 ，则ADBP的最大值为A. 3 B. C. D. 2252、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 设 x、y 满足约束条件 则 z = 3x - 4y 的最小值为 _。,0,2yx14.
5、设等比数列a n满足 a1 + a2 = -1，a 1 - a3 = -3，则 a4 =_。15. 设函数 则满足 的 x 的取值范围是_。,0)(xf 1)2()xf16. a、b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a、b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 30角；当直线 AB 与 a 成 60角时，AB 与 b 成 60角；直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45；直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60。其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号）3、解答题：共
6、 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. （12 分）ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，已知 。270cos3sinbaA，（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积。理科数学 第 页（共 4 页）418. （12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高
7、气温（单位：）有关，如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为 200 瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时
8、，Y 的数学期望达到最大值？19. （12 分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD = CBD，AB = BD。（1）证明：平面 ACD平面 ABC；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值。理科数学 第 页（共 4 页）520. （12 分）已知抛物线 C：y 2 = 2x，过点(2,0) 的直线 l 交 C 与 A、B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆。（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（2）设圆 M 过点 P(4,-2)，求直线 l 与圆 M
9、 的方程。21. （12 分）已知函数 。xaxfln1)(（1）若 ，求 a 的值；0f（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n， ，求 m 的最小值。n)21()1(2理科数学 第 页（共 4 页）6（2）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为 ，直线 l2 的参数方程为)(,2为 参 数tkyx，设 l1 与 l2 的交点为 P，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线 C。)(,2为 参 数mkyx（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： ，M 为 l3 与 C02)sin(co的 交点，求 M 的极径。23. 选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 。|2|1|)(xxf（1）求不等式 的解集；f（2）若不等式 的解集非空，求 m 的取值范围。xf2)(
