1、椭圆及其标准方程一、教学目标1知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程2能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力3情感目标（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.二、重点、难点重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简三教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱
2、导启发讨论探索结果，引导学生直观观察归纳抽象总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力四教具准备：多媒体课件和自制教具：呼啦圈，绘图板、图钉、细绳五、教学过程（一）创设情境，认识椭圆材料 1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料 2：“嫦娥一号”模拟轨道图2007 年 10 月 24 日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号” 发射成功 , 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实 ，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲请问： “嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图）引入课题
3、：椭圆及其标准方程（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.）（二）动手实验，亲身体会1教师演示，引出研究思路教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章
4、所学，来研究椭圆 ）2学生分组试验(1)取一条细绳；(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点 、 ；1F2(3)用铅笔尖（ ）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？M（教师巡视指导，展示学生成果）3.分析实验，得出规律(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律： 轨迹为椭圆；1212|MFF+轨迹为线段 ；|=轨迹不存在1212|（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义
5、，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备 ）（三）总结归纳，形成概念定义：平面内，到两个定点 、 的距离之和等于常数（大于 ）1F2 12F的点的轨迹叫做椭圆（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.）问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？ .)2(21caMF（设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.）（四）
6、合理建系，推导方程1.复习求曲线的方程的基本步骤：建系；设点；列式；化简；（5）证明（可省略） （由学生回答，不正确的教师给予纠正 ）2.如何选取坐标系？【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：方案一：把 F1、F 2 建在 x 轴上，以 F1F2 的中点为原点；方案二：把 F1、F 2 建在 x 轴上，以 F1 为原点；方案三：把 F1、F 2 建在 x 轴上，以 F1F2 与 x 轴的左交点为原点；方案四：把 F1、F 2 建在 y 轴上，以 F1F2 的中点为原点；教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性） ，如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一.（设计意图：积极鼓励学
7、生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法 ）3推导标准方程选取建系方案,让学生动手，尝试推导.按方案一：以过 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分或线为 轴，1F2x12Fy建立平面直角坐标系设 ，点 为椭圆上任意一点，)0(c),(yxM则 （称此式为几何条件） ，aMP21 得 （实现集合条件代数化） ，ycxycx222（想一想：下面怎样化简？）（）教师为突破难点，进行引导设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 )()( 2222 cayxca（2） 的引入b由椭圆的定义可知，
8、, c220c让点 运动到 轴正半轴上（如图 2） ，由学生观察图My形直观获得 ， 的几何意义，进而自然引进 ，此时设acb，于是得 ， 两边同时除以22b22axb，得到方程： （称为椭圆的标准方程） 2a210yba（3）建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程 要建立焦点在 轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，y如何做？方法 1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母， 交换了位置） ，直接得到方程xy方法 2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图 1（前面方程推导时用过）与图 3 的联系(关于直线 对称)即可化未知为已知，将已xy知的焦点在 轴
9、上的椭圆的标准方程转化为焦点在 轴上的椭圆的标准方x程只需将图 1 沿直线 翻折即可转化成图 3；yx F1 xy0MF2图 2bca图图图 1 图 3(4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁.（设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算 ）4归纳概括，掌握特征（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是 1；（2）椭圆标
10、准方程中三个参数 , , 的关系： ；abc22cab)0(b（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（五）尝试应用，范例教学例 1 下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明 、 ，写出焦点坐标ab注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然（设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握.）149)(2yx 0259)2(yx625)3(2 )(1)4(2mm例 2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是 、40，椭圆上一点到两焦点距离的和等于 10.40，变式一：将上题焦点改为 、 ，结果如何？(0,4)(,)变式二：将上题改为两个焦点的距
11、离为 8 ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离和等于 10 ，结果如何？（学生直接抢答）例 3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是 、 ，并且经过点 P 02， ， 352，（先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成教师巡视，投影学生答案学生讨论总结 ）解题思路 1：先根据已知条件设出焦点在 轴上的椭圆方程的标准方程y，再将椭圆上点的坐标 代入此方程，并结合 、2bxay0352， a、 间的关系求出 、 的值，从而得到椭圆的标准方程为 c2ab 1602xy(设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.)解题思路 2：利用椭圆定义（椭圆上的点 到两个焦点 、352， 02，的距离之和为常数 2 ）求出 值，再结合已知条件和 、 、 间的关0， aabc系求出 的值，进而写出标准方程2b（设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.）（六）回顾反思，归纳提炼.1.椭圆定义；2.椭圆标准方程；3.解题思想方法（七）课后作业，巩固提高（八）板书设计：8.1 椭圆及其标准方程一椭圆的定义 三.例题四.小结)2(21caMF二椭圆的标准方程 五.作业焦点在 轴上：x210yba焦点在 轴上；y2x
