1、V0112，No6 高等数学研究Nov，2009 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 13定积分不等式几种典型证法。李，J、平赵旭波(中国石油大学(华东)数学与计算科学学院基础数学系山东东营257061)摘要 通过几道常见的定积分不等式证明例题，从不同角度分析、研究定积分不等式的特点，归纳总结出构造辅助函数，利用重要积分公式、性质、定积分中值定理及重要不等式等证明定积分不等式的七种典型方法关键词 辅助函数；积分中值公式；泰勒公式；积分不等式 中图分类号 01722积分不等式的证明是高数学习中的一个难点，也是考研常考的一种类型题，而有关积分不等式的证明方法比较复杂，学生
2、们往往感到无从下手，本文以几道定积分不等式证明题为例，通过一题多解，引导学生多角度思考，联想，归纳出定积分不等式证明的常用方法1 辅助函数法例1 设函数，(z)在区问o，1上连续且单调递减，证明：当0A1时，I，(z)dx刘，(z)dx分析 注意到左右两端积分上限不同，通过换元先将左右积分限统一，为此令z一砧，则l f(x)dx=l f(,lt)Xdt一叫f(2t)dt，于是，要证I f(x)dxAl f(z)dx，等价于证A Ef(Rt)一f(t)-dt0证法一 构造辅助函数F(z)一I；【l厂(砧)一f(t)dt， zo，1，则有F7(z)=舡厂(舡)一厂(z)因为Ao，1，所以XRx0，
3、又，(z)单调递减，所以f(Xx)，(z)于是F7(z)0，即F(z)单调递增，故F(1)F(o)一0，即A l厂(知)一f(t)dt0原题得证此题还可构造辅助函数F(z)=I f(t)dtzl，()dt注 证明积分不等式，引进一个辅助函数相应的变限积分，把问题转化为用微分学的方法证明函数不等式2 利用定积分中值定理从另一个角度出发分析例1，把右端的积分区间划分，可得以下证法：证法二 因为Af，(z)dx一虹f厂(z)如+l，(z)如一Af，(z)如+Af厂(z)dx*收稿日期：200904一02万方数据14 高等数学研究 2009年11月所以，1，(z)dz一0：厂(z)dz=(1一A)，1
4、厂(z)dz-9,11f(0 0 J z)dzJ J Q J由积分中值定理，存在eo，：I，叩A，13，使J：f(x)dx一，(e)A，Jif(z)如=厂(7)(卜瓶又因为，(z)单调递减，e71知，(e) f(Ti)于是(1一A)r )dxA rl A(1一A) 一A(1一A)八矿一2(1一A)厂(9一厂(矿0f(x)dxf(x)dx f(O 0，(1一A)l AI A(1一A) 一A(1一A)八矿一 一A)厂(9一厂(矿，r rl即I f(x)dx刘f(x)dx原题得证J 0 J o3 利用定积分的换元法及其性质主要利用定积分的比较原理，估值定理和绝对值不等式等定积分性质进行分析处理证法三
5、 当A一0或1时，不等式显然成立。令X=址，A(O，1)，则Jr0厂(z)如一J陬0砧)Ad又因为f：，(z)dx=lfl厂(z)dz：Afl，(A)f(t)-dt，J o Jo J o当to，13时，tAt，由题设可知f(Xt)厂(t)据定积分性质可得：厂(z)dz_Zflf(o z)dz=Aj_：叭棚一八踟dt。，即r：厂(z)dxAfl厂(z)如原题得证4 利用泰勒公式例2 设，(z)在口，6有二阶连续导数，厂(口)=厂(6)=0，Mma鼍I，(z)l，证明：Jt LoJff弛f与笋M证法一 任给X(口，6)，由泰勒公式得，(口)一，(z)+(z)(口一z)+丢，(e)(a-x)2， e
6、(口，z)；，(6)一厂(z)+(z)(b-z)+丢厂(7)(6一z)2， 7(z，6)两式相加得厂(z)一(z)(z一生笋)一丢，(拿)(a-x)2+(叩)(6一z)2，两边积分得：厂(b z)如一p(州z一字一H，(纵a-x)2+，婶(6一拶，其中pc州z一半一卜b一字)d，cz，一胁z于是万方数据第12卷第6期 李小平，赵旭波：定积分不等式几种典型证法 15J：，(z)dz一一吉，：，(e)(口一z)2+f(,p(b-z)2dz故(驯d刮=瓢刊2+(b-一篆(6_n)3注 当题目条件出现二阶连续导数，且知某些点函数值时，往往采用泰勒公式5 分部积分法用分部积分法证明积分不等式，实质上是使
7、用分部积分法证明一个等式，然后再给出积分估计分析例2 用分部积分法导出f，(z)dz与，(z)的有关积分的关系证法二 因为f，(z)如=fbf(o z)d(x-a)=一f八z)(x-a)d(z一6)=f6(z)(zn)(zb)dz+fbf7(z)(zb)dzJ口 J4r6 r6I(z)(zn)(zb)dx+I(zb)df(x)一J口 J 4f尸(州x-a)(z_6)如一胁训z，所以，J：，(z)dz=号JI：(z)(z一口)(z-b)dz，因此，厂(z)dzI虿1J b。(x-a)(6一z)dz一百1J。b(6一z)d(x-a)2一丢硝(z刊2dz=M(b-n)36 二重积分法当被积函数积分区
8、间相同，利用变量的对称性及二次积分转化为二重积分来证明例3 设厂(z)在区间a，6上连续，且厂(z)0，证明：从蒯zf志dz(b-a)2证法一 记-一胁汕6南一肌f南扣几锚蛐，又J一胁胁f南一胁mf南垆几铬蛐，因此，21=姒ff fS而(y+器py矶捌3，-2(6_n)2(筹o)即从训z6志dz(b-a)2此题还可用辅助函数法证明，仿例1中证法一，在此不再详述 (下转第17页)万方数据第12卷第6期 王良成，白海：一个变限函数的隐含条件 17当1k扎时，由F(z)一f。(x-t)抓)一奎(一1)mC7zpm)ddt dt，F(z)一l “厂() 一芝：(一 z”“l”，() ，及，()的连续性
9、可得F7(z)一萎(一1)mc：(zn，(z)+(n-m)z一一t f。m，()d)+(一1)nqzn，(z)一(一1)”CT(n-m)x”rn-，-1卜“，()d+z“，(z)(一1)“四一，z萎(_1)_嗡矿-f。，7()出+(11)k一厂(z)一孢r二一)d八)出 (5)仿照(5)式的做法有如下两式F“(z)一n(n一1)(以一k+1)I(z一)”5f(t)dt，(2k咒一1)， (6)Fh(z)一，l!l厂()dt (7)由(5)，(6)与(7)三式可得：F7(口)=，(n)=一F(口)一一Fh(口)一0证毕3 定理的应用在(1)式中，F(0)一sin00， ，(O)一cos010再由
10、命题，因(1)式中的第二个等号不成立，故本文开头的两种解法结果不一样要使(1)式成立，只须在(1)式中令F(z)一sinxX即可参考文献1华东师范大学数学系数学分析(上)M_ooooooo(ooooo3版北京：高等教育出版社，2001：216ooooooooooo。：Ho嘈oo(上接第15页)注 许多定积分的计算及不等式的证明可转化为二重积分来考察，往往能达到简化运算及证明的目的，而某些二重积分的问题也可转化为定积分来考虑，常常取得事半功倍之效7 重要不等式法该方法一般适用于含被积函数的平方形式的情形分析例3 证明思路：1)利用柯西施瓦茨不等式(f厂(z)g(z)dz)2f6so 2(z)dz
11、2(z)dz；2)找合适的连续函数，(z)，g(z)证法二 因为 jlb。(厕)2dx6(岳(肛)2娟刊2，即成立胁蒯zf志如(6刊2参考文献1同济大学应用数学系高等数学l-M3北京：高等教育出版社，20022赵达夫全国硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义I-M北京：新华出版社，2004万方数据定积分不等式几种典型证法作者： 李小平， 赵旭波作者单位： 中国石油大学,华东,数学与计算科学学院基础数学系,山东东营,257061刊名： 高等数学研究英文刊名： STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)： 2009，12(6)被引用次数： 0次参考文献(2条)1.同济大学应用数学系.高等数学M.北京:高等教育出版社,2002.2.赵达夫.全国硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义M.北京:新华出版社,2004.相似文献(1条)1.期刊论文 蔡择林.陈琴.CAI Ze-lin.CHEN Qin 定积分不等式的几种典型证法 -湖北师范学院学报（自然科学版）2007,27(4)介绍定积分不等式的几种典型证法.本文链接：http:/
