1、- 1 -广东省湛江市 2018 届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |14Ax ，全集 2|1UyxR， ，则 UCA（ ）A |x B |x - C |4x D |14x 2.已知 i是虚数单位，复数 z满足 21izi，则 （ ）A 2 B 102 C 5 D 2 3.设 R，则 “ 6”是“ 3sin”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.从某中学甲、乙两班各随机抽取 10名同学，测
2、量他们的身高（单位： cm） ，所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）A甲班同学身高的方差较大 B甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大 D甲班同学身高在 175cm 以上的人数较多5.已知 F 是双曲线：218yx右焦点， P是 C上一点，且 PF与 x轴垂直，点 A的坐标是(08)，则 PA 的面积为（ ）A 6 B C.12 D 16 6.已知 ()4， ， 4cos5，则 sin()4（ ）A 15 B 2 C. 3 D 5 7. 5(2)xy的展开式中 3xy的系数为（ ）- 2 -A 40 B 80 C.120 D 16
3、0 8.执行如图所示的程序框图，为使输出 S的值大于 ，则输入正整数 N的最小值为（ ）A 5 B 4 C.3 D 2 9.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）A 3 B 23 C.43 D 12 10.在 C 中， 60A， B， 2AC .若 BC， AEB （R） ，且 4DE，则 的值为（ ）A 31 B 1 C. 51 D 61 11.我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等
4、.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积- 3 -都相等）.将椭圆2196xy绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A 24 B 32 C.48 D 64 12.已知函数 ()sinxfek，如果对于任意的 02x， ， ()0fx 恒成立，则实数 k的取值范围是（ ）A 34， B 1， C. 2e，D 21e，第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸
5、上）13.若函数 2()log(1)xfxa为奇函数，则 a 14.设变量 、 y满足约束条件0236yx ，则目标函数21xyz的最大值为 15.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆21xyab（ 0a ）的离心率 32e， 1A， 2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆 1A的半径为 ，过点 2A作圆 1的切线，切点为 P，在 x轴的上方交椭圆于点 Q.则 2P 16.如图，游客从景点 A下山至 C有两种路径：一种是从 A沿直线步行到 C，另一种是先从A乘缆车到 B，然后从 沿直线步行到 .现有甲、乙两位游客从 下山，甲沿 A匀速步行，速度为 50米/分钟.在甲出发 2分钟后，乙从 乘缆车到 B，在
6、 处停留 1分钟后，再从匀速步行到 C.已知缆车从 A到 B要 8分钟， AC 长为 1260米，若 2cos3， 63sin5B.为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 3分钟，则乙步行的速度 v（米/分钟）的取值范围- 4 -是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 na的前 项和 235nS（ *nN ）（1）求数列 的通项公式；（2）设 1nba，求数列 nb的前 项和 nT.18. 红星海水养殖场进行某水产品的新旧养殖方法的产量对比，收货时在旧养殖的大量网箱中随机抽取 0 个网箱，在新养殖法养殖的大量网箱中也随机
7、抽取 10个网箱，测量各箱水产品的产量，得样本频率分布直方图如下：（1）填写下列列联表，并根据列联表判断是否有 9%的把握认为箱产量与养殖方法有关.养殖法 箱产量 箱产量 50kg箱产量 50kg 总计旧养殖法新养殖法总计（2）设两种养殖方法的产量互相独立，记 A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg ”，估计 的概率；- 5 -（3）某水产批发户从红星海水养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品中购买了 50个网箱的水产品，记 X表示箱产量位于区间 506)， 的网箱个数，以上样本在相应区间的频率代替概率，求 ()E .附： 20()Pk 0.10.50.2
8、50.10.52.763.841.46.357.89（ 2()()(nadbckd，其中 nabcd ）19. 如图，在三棱柱 1ABC中，侧面 1AC与侧面 1BC都是菱形，1160AC， 2 .（1）证明： 1ABC ；（2）若三棱柱 1的体积为 3，求二面角 11BAC的余弦值.20. 已知动圆 M过定点 (0)F， 且与 y轴相切，点 F关于圆心 M的对称点为 T，动点 的轨迹记为 C.（1）求 C的方程；（2）设直线 1l： 1xny与曲线 C交于点 A 、 B ；直线 2l： 21xny与 C交于点 P，Q，其中 2 ，以 AB、 PQ为直径的圆 1N 、 （ 1 、 N为圆心）的
9、公共弦所在直线记为 l，求 1N到直线 l距离的最小值. - 6 -21. 已知函数 ()xfka，其中 kR， 0a且 1 .（1）当 ae（ 2.71 为自然对数的底）时，讨论 ()fx的单调性；（2）当 k 时，若函数 ()fx存在最大值 ()ga，求 的最小值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，点 (03)P， ，直线 l的参数方程为123xty（ t为参数） ，以原点为极点， 轴的非负半轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2241cos .（1）求直线 l的普通方程和曲线 C的直角
10、坐标方程；（2）设直线 与曲线 的两个交点分别为 A 、 B ，求 1+PAB的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()12fxx .（1）解不等式 0f；（2）若关于 x的不等式 2()5fxa 的解集为 R，求实数 a的取值范围. - 7 -参考答案一、选择题1-5:CBAAB 6-10:DCDCA 11、12：CB二、填空题13. 12 14.18 15. 37 16. 1250643， 三、解答题17.（1）数列 na 的前 项和 25nS 14aS .当 2n 时， 221355+(1)()nn31n.又 a对 也成立. 31n（ *N）（2）由 a可知111()(3)434
11、nbnn 2nTb 1()()()3471034n1n4(3)18.解：（1）旧养殖法的箱产量低于 50kg的频率为(0.2.0.24.3.4).62箱产量不低于 5kg的频率为 138；- 8 -新养殖法的箱产量低于 50kg的频率为 (0.8.20.8)5.2，箱产量不低于 的频率为 1.2.7.由此得列联表：养殖法 箱产量 箱产量 50kg箱产量 50kg 总计旧养殖法 623810新养殖法 872总计 90102则220(6783)1910k2341= 34.3546.59 有 9%的把握认为箱产量与养殖法有关.（2）记 B表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 0kg ”， C表示事件“新
12、养殖法的箱产量不低于 50kg ”由题意知 ()()PACPB 旧养殖法的箱产量低于 50kg的频率为 0.72，故 ()PC的估计值为 0.72 事件 的概率估计值为 .646 （3）新养殖法的样品中，箱产量位于区间 5)， 的频率为 .485.，故养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品，箱产量位于区间 60， 的概率估计值为 0.24.依题意知 (50.24)XB， ).1E . 19.（1）证明：取 1C的中点 O，连接 A、 1C、 B、 1O，由棱形的性质及 160AB.- 9 -得 1AC ， 1B 为正三角形. O， 1C，且 1. C平面 1AB， 1 （2）三棱锥 1C的体积是
13、三棱柱 1ABC体积的三分之一，得四棱锥 AB的体积是柱体体积的三分之二，即等于 2 .平行四边形 1的面积为 12sin603BCS.设四棱锥 1ABC的高为 h，则123h， 3又 OA平面 1BC - 10 -建立如图直角坐标系： Oxyz .则 (03)A， ， ， 1(0)B， ， ， (10)C， ， .1CB， ， 3A， ， 设平面 1的一个法向量为 1()nxyz， ， 则 130nyzCBx，取一个法向量为 1(3)n， ， 显然 2(0)， ， 是平面 1CA的一个法向量.则 121235cosn，.二面角 11BAC的余弦值为 5.20.解：（1）如图，设 ()Txy，
14、 ，则 1()2xyM， ，由题可知 0x ，动圆 与 轴相切，得 xF .即 211()(yx .化简得： 4.（注：用几何条件判断 C的轨迹是抛物线亦可）（2）设 1()Axy， ， 2()Bxy， ，将 n代入 4得： 140n， 2160n ，则1214y且2121121()()46xnyn设 ()Sxy， 是 1NA上的任意一点.由 0B得以 为直径的圆的方程是：- 11 -1212()()0xy 将式代入上式，化简得： 211(4)30xynxy 同理以 PQ为直径的圆的方程是： 224n 得 l的方程是： 20xy .又 211()Nn， ，到 l的距离 221117|()|()
15、4855nnd当 14时，所求距离最小值为 20 .21.解：（1）由题 ()xfke ()xfke，当 0 ，当 ()0f， ()fx在 R上是减函数；当 k，当 lnxk， f， ()f在 ln)k， 上是减函数；当 lnxk， ()0fx ， ()f 在 l)， 上是增函数.即当 0k 时， (fx在 )， 上个递减；当 时， )f在 lnk， 上递减，在 (ln)k， 上递增.（2）当 1k， (xfa， ()1lxfa.当 0a时， 0x， ln，则 ()0f ， ()fx在 R上为增函数， ()fx无极大值，也无最大值；当 1，设方程 ()fx的根为 t，得 1lna.即lnlog
16、at，所以 ()fx在 )t或上为增函数，在 ()t或上为减函数，- 12 -则 ()fx的极大值为1ln()ltaft， 10lna.令1ln()lag，令 ()lnhxx， .lhx.当 1时 ()0；当 (1)x或时 (0hx，所以 1x为 ()h极小值也是最小值点.且 )h，即 ga的最小值为 ，此时 ae.22.（1）直线 l的普通方程为 3xy，曲线 C的直角坐标方程为24xy（2）点 03P或在直线 l： 3xy上，将直线 l的参数方程代入曲线 C的直角坐标方程，得2214tt， 2540t，设两根为 1t， 2， 125t， 12405t，故 1t与 2异号， 124()PABttt45. 11PPAB.23.解：（1）不等式 ()0fx可化为 12x.当 2x时， 12)，解得 3，即 x；当 时， x，解得 x，即 .综上所述，不等式 ()0f解集为 1x或.（2）由不等式 25fxa 可得 25xa . 113x ， 253a ，即 250a .- 13 -解得 12a 或 3 .实数 的取值范围是 1(3)2或.
