1、1单调性与极值1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极 大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。【重点难点】利用导数求函数的极值；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；利用导数证明函数的单调性；数在实际中的应用；
2、导数与函数、不等式等知识相融合的问题；导数与解析几何相综合的问题。【高考要求】B 级【基础过关】1 函数的单调性 函数 y )(xf在某个区间内可导，若 )(xf0，则 )(xf为 ；若 )(xf0，则)(xf为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有 0)(xf，则 )(xf .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数 )(xf的 ； 求 f，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数 的间断点（即 )(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区间分
3、成若干个小区间； 确定 )(xf在各小开区间内的 ，根据 )(xf的符号判定函数 )(xf在各个相应小开区间内的增减性.2可导函数的极值 极值的概念设函数 )(xf在点 0附近有定义，且对 0x附近的所有点都有 （或 ） ，则称0f为函数的一个极大（小）值称 为极大（小）值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数 )(xf； 求方程 0 的 ； 检验 f在方程 )(xf0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数 y )(在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数 y xf在这个根处取得 .3函数的最大值与最小值： 设 y )(f是定义在区间a ,b 上的函
4、数，y )(xf在(a ,b )内有导数，则函数 y)(xf在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行：2 求 y )(xf在(a ,b )内的 值； 将 y 的各 值与 )(af、 bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数 y )(xf在a ,b 上单调递增，则 )(af为函数的 ， )(bf为函数的 ；若函数 y 在a ,b 上单调递减，则 为函数的 ， 为函数的 .【典型例题】例 1. 已知 f(x)=ex-ax-1. （1）求 f(x)的单调增区间； （2）若 f(x）在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范
5、围； （3）是否存在 a,使 f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.解： )(xf=ex-a. （1）若 a0， )(f=ex-a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增. 若 a0,ex-a0,e xa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+). （2）f（x）在 R 内单调递增， )(xf0 在 R 上恒成立. e x-a0 ，即 ae x在 R 上恒成立. a（e x） min，又e x0，a0. （3）方法一 由题意知 ex-a0 在（-，0上恒成立. ae x在（-，0上恒成立.e x在（-，0上为增函数. x=0 时，
6、e x最大为 1.a1.同理可知 ex-a0 在0，+）上恒成立. ae x在0，+）上恒成立.a1，a=1. 方法二 由题意知，x=0 为 f(x)的极小值点. )(f=0,即 e0-a=0,a=1.变式训练 1. 已知函数 f(x)=x3-ax-1. （1）若 f(x)在实数集 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）是否存在实数 a,使 f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）证明：f(x)=x 3-ax-1 的图象不可能总在直线 y=a 的上方. （1）解 由已知 )(xf=3x2-a,f(x)在（-,+ ）上是单调增函数，
7、)(xf=3x2-a0 在（-,+）上恒成立，即 a3x 2对 xR 恒成立. 3x 20,只需 a0,又 a=0 时， )(xf=3x20, 故 f(x)=x3-1 在 R 上是增函数，则 a0. （2）解 由 )(xf=3x2-a0 在(-1,1)上恒成立，得 a3x 2,x(-1,1)恒成立. -10,即 e-ax(-ax2+2x)0,得 02 时,f(x）在（1，2）上是减函数, f（x） max=f（1）=e -a. 当 1 2,即 1a2 时， f(x)在 a2,1上是增函数，在 2,a上是减函数， f(x) max=f =4a-2e-2. 当 a22 时，即 02 时，f(x)的
8、最大值为 e-a. 4变式训练 3. 设函数 f(x)=-x(x-a)2(xR),其中 aR. （1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当 a0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值. 解：（1）当 a=1 时，f(x)=-x(x-1) 2=-x3+2x2-x, f(2)=-2, )(xf=-3x2+4x-1, )2(f-12+8-1=-5, 当 a=1 时，曲线 y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为 5x+y-8=0. （2）f(x)=-x(x-a) 2=-x3+2ax2-a2x, )(xf=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),
9、令 f=0,解得 x= 3a或 x=a. 由于 a0，以下分两种情况讨论. 若 a0，当 x 变化时， )(xf的正负如下表： x (-, 3a) ( 3a,a) a (a,+)(f- 0 + 0 -f(x) 274a 0 因此，函数 f(x)在 x= 3处取得极小值 f（ 3a） ， 且 f（ 3a）=- ;274 函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=0. 若 a0, =0 时,x=12， 当 00,当 x12 时， )(xP0( )(xf0 是 f（ x）在（ a， b）内单调递增的_ _条件.5. 函 数 y=xsinx+cosx 在 下 面 哪 个 区 间
10、内 是 增 函 数 A.（ 2,3） B.（,2） C.（ 23, 5） D.（2,3）6.已知 a0，函数 f（ x）= x3 ax 在1，+）上是单调增函数，则 a 的最大值是 67. 已知函数 f（ x）= x44 x3+10x2，则方程 f（ x）=0 在区间1，2上的根有 8. 若函数 y= x3+bx 有三个单调区间，则 b 的取值范围是_.9函数 f（ x） x2cos x 在区间 2,0上的最大值为_;在区间0，2上最大值为_ 10已知 R，奇函数 32()faxbc在 1,)上单调，则字母 ,abc应满足的条件是 。11.设 f（ x）= x3 22 x+5.（1）求 f（
11、x）的单调区间；（2）当 x1，2时， f（ x） m 恒成立，求实数 m 的取值范围.12设 f（ x）= x33 ax2+2bx 在 x=1 处有极小值1，试求 a、 b 的值，并求出 f（ x）的单调区间.13已知函数 f（ x）= ax3+3x2 x+1 在 R 上是减函数，求实数 a 的取值范围.14若函数 y= 31x3 2ax2+（ a1） x+1 在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数 a 的取值范围.15.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示） 。试问当帐篷7的顶点 O 到底面中心 1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？剖析本题可设 的长度为变量 x，根据题意建立 V关于 x的函数关系，利用导数进行求最值。解设 OO1为 xm，则 4,由题设可得正六棱锥底面边长为：2228)(3x， （单位： m）故底面正六边形的面积为： 462)= )8(32x， （单位： 2）帐篷的体积为： Vx）（ 1()16(33x（单位：3m）求导得 )312(）（ 。令 0）（ x，解得 x（不合题意，舍去） ， 2x，当 1时， 0）（ ， ）（ x为增函数；当 42时， V）（ ， ）（ 为减函数。当 时， ）（ 最大。答：当 OO1为 m时，帐篷的体积最大，最大体积为 316m。
