1、 12 22 FEBOA DC证明三点共线方法举要四川省广元市宝轮中学 唐明友有些数学问题要求你证三点共线，或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉得无从下手，茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上，显然有失严密性，造成解题不完整或失误。本文介绍证明三点共线的若干种方法，希望对你有所帮助。一.运用平角的定义证三点共线例 1.已知：在ABC 的边 AC、BC 的外侧作等边ACE 、等边BCD，这两个三角形的外接圆相交于另一点 O，求证：点 A、O、D 三点共线。证明：连接 OA、OC、OD，四边形 AOCE 内接于圆， 2E=180 0又ACE 和BCD 都是等边三角形，E=60
2、，3=6002=180 E=180 60 =120 ，0001=3=60 ,12=180 点 A、O、D 三点共线。二.运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线例 2.已知：AD 是ABC 中CAB 的外角平分线，过 C 作 CDAD 于 D，点 E、F 分别为 AC、BC 的中点，求证：D、E、F 三点共线。证明:连接 DE、EFDE 是 RtADC 斜边上的中线，DE=AE=EC，2=3AD 平分CAX，1=21=3，DEAB又EF 是ABC 的中位线EFAB D、E、F 三点共线。三.运用“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”证三点共线例 3.如图，直线 DA、DC
3、、CB 分别切O 于点 A、E、B，ADBC，AD=2,BC=4，求O 的直径。解：连接 OA、OB，过 D 作 DFBC 于 FDA、DC、CB 均是O 的切线OAAD,OBBC,DE=DA=2,CE=CB=4又ADBC，OABC根据 OBBC，OABC，可知点 A、O、B 三点共线，即 AB 是直径，在 RtDFC 中，DF= = =42CFD26因此，O 的直径 AB 为 4四.运用“连接其中的两点构成的两条线段重合”证三点共线2例 1.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD、BC 的中点分别是 M、N，BC=90 ，且 BCAD,求证：MN= （BCAD）021证明：延长 BA、C
4、D 相交与 G，分别连接 GM、GN，由已知得GBC、GAD 都是 Rt，先在 RtGAD 中，GM 是斜边上的中线，GM=GA=MD，MGA=1同理可证NGB=BADBC，1=BMGA=NGB ，即MGA 与NGB 是同一个角，GM 和 GN 重合点 G、M、N 三点共线由直角三角形斜边上中线的性质有：GM= AD,GN= BC21因此，MN=GNGM= （BCAD） 。21五.运用“连接其中两点的直线必过第三点”证三点共线例 5.已知：ABC 的外心为 O，垂心为 H，OMBC 于 M，（1）求证：OM= AH21(2)设ABC 的重心为 G，求证：点 O、H、G 三点共线。证明：（1）如
5、图 1，作直径 BD，连接 AD、CD，则 O、M 分别是 BD、BC 的中点，OMCD，且 OM= CD 2又BAD=90 ，C HAB0ADCH又知 AHBC，OMBC，OMAHCD四边形 AHCD 是平行四边形，CD=AH因此，OM= AH21(2)如图 2，连接 AM、OH，设 AM 与 OH 交于G ，由（1）得 OM= AH 且 OMAH，OMG HAG 1 = = ，即 MG = AG1MAOH21但 AM 为ABC 的中线，3G 是这个三角形的外心，又 G 是ABC 的外心1G 与 G 重合因此，点 O、H、G 三点共线。 六.运用“三角形中两边之和等于第三边”证三点共线例 6
6、.已知：点 P 为等边ABC 外一点，设 PA=PBPC,将ABP 绕点 A 旋转至ACD，求证：点 P、C、D 三点共线。证明：由图形可知旋转角是 60 ，PAD=60 且00PA=DA,PAD 是等边三角形PA=PD又ABPACD,PB=DC若 PA=PBPC， DCPC=PDPCD 不能构成三角形，即点 P、C、D 三点只能共线。以上有些例题还可运用其他方法证明三点共线，比如例 3 还可通过添加辅助线运用第一种和第二种方法予以证明，留给同学们自己去思考。总之，这类题型具有一定的技巧性，且综合性较强，但证明所运用的知识却很简单，只要善于总结，及时反思，注重数学思想方法和数学思维的训练，同学们的综合解题能力就可以迅速提高。
