1、 1精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初二 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 T 角平分线 C 专题精讲授课日期时段 教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图）以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D 两点；分别以 C、D 为圆心，大于 CD 长为半径画弧，两弧交于点 P；过点 P 作射线 OP，射线 OP 即为所求2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，OP 平分MON（12）， PAOM ， PBON， PA PB。（2）角平分
2、线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）如图所示，PAOM ，PBON，PAPB， 12（OP 平分MON）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。23. 角平分线性质及判定的应用为推导线段相等、角相等提供依据和思路；实际生活中的应用例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米在下图中标出工厂的位置，并说明理由【例题讲解】1在ABC 中，ACBC，AD 为BAC 的平分线，DEAB，AB7，AC3，求 BE 的长。2如图：在ABC
3、 中，C=90 AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，F 在 AC 上，BD=DF； 求证：CF=EB3.如图，P 为AOB 内一点，OA=OB，且OPA 与OPB 面积相等，求证AOP=BOP.EDC BAEABC DF34.如图，AB=AC，AD=AE， BD、CE 交于 O，求证 AO 平分BAC.【同步练习】1.在 RtABC 中，BD 平分ABC，DEAB 于 E，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与 DE 相等？为什么？若 AB10，BC8，AC6， 求 BE，AE 的长和AED 的周长2已知，如图 DABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点。求证：D 到 A
4、B、AC 的距离相等。3.ABC 中，C=90，AD 为角平分线，BC=64，BD DC=97,求 D 到 AB 的距离.AB CDE44.如图，在ABC 中， C=90，AC =BC，AD 是 A 是角平分线 求证：AC +CD=AB角平分线性质的应用（一）证明线段相等例 1 已知：如图，B=C=90，DM 平分ADC，AM 平分DAB。求证：MB=MC（二）证明角的平分线例 2 已知，如图 AF、CF 是 DABC 的外角 DAC、 ACE 的平分线求证：点 F 必在 B 的平分线上。5（三）证明角相等例 3.如图，C、D 是AOB 平分线上的点，CEOA 于 E，CFOB 于 F 求证：
5、CDE=CDF基础知识扫描1.点 O 是ABC 内一点,且点 O 到三边的距离相等,A=60,则BOC 的度数为( )A.60 B.90 C.120 D.1502.如图 1,AB=AD,CB=CD,AC、BD 相交于点 O,则下列结论正确的是( ) A. OA=OC B. 点 O 到 AB、CD 的距离相等 C. 点 O 到 CB、CD 的距离相等 D. BDA=BDC 3.ABC 中,C=90,点 O 为ABC 三条角平分线的交点,ODBC 于 D,OEAC 于 E,OFAB 于 F,且AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,则点 O 到三边 AB、AC、BC 的距离为( )A.2cm
6、2cm 2cm; B. 3cm 3cm 3cm; C. 4cm 4cm 4cm; D. 2cm 3cm 5cm 4.到一个角的两边距离相等的点在 ;角平分线上的点到这个角的两边的距离 .5.如图 2,ABC 中,B=90, A、C 的平分线交于点 O，则AOC 的度数为 .能力训练升级 6.如图 3,P 是AOB 的平分线上的一点,PEOA 于 E,PFOB 于 F,OP 与 EF 的位置关系是 7.如图 4，在ABC 中，C=90，AC=BC，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB，垂足为 E，且 AB=6cm，则DEB 的周长为_ cm.68.如图,已知 BE 平分ABC,CE 平
7、分ACD,且交 BE 于 E.求证:AE 平分FAC.DFCBA E9.如图,已知ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,求证:D 到 AB、AC 的距离相等. D CBA【探究创新实践】10.如图,已知 AB=AC,AD=AE,DB 与 CE 相交于 O.(1)若 DBAC 于 D,CEAB 于 E,试判断 OE 与 OD 的大小关系.并证明你的结论.(2)若没有第（1）中的条件,是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE71、专题精讲 【题型一】公共边类型的全等三角形图形 1 图形 2 图形 3 注意隐含条件 AD=AD 隐含条件 AB=BA 隐含条件 AC=CA【例 1】 在 中，
8、AB=AC,AD 平分BAC，求证： ABCABDC【例 2】如图, ABC=DCB, ACB=DBC,求证：AC=DB.【例 3】已知：如图，ABCD，ABCD求证：ADBCABCDABCDBCADDDCBAABCDD8【题型二】边加减类型的全等三角形图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 【例 4】已知点 B,E,C,F 在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF. 求证：A=D.【例 5】如图，已知： 求证： ,CFBEDAFBDFAB/【例 6】如图，已知： .求证：（1） ;(2)AEDF. BFCEDAB, DEAF【例 7】已知：如图，A、C、F、D 在同一直线上，AFD
9、C，ABDE，BCEF，求证： ABC DEFBCDEFAADBE F C(1) ABF ECD(4) ABBFEDC(2) ABE FDC(3) BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE BE=CF BE-EF=CF-EF BF=CEA D B E C F 9【题型三】公共角类型的全等三角形【例 8】如图，AB=AC,BE 和 CD 相交于 P，PB=PC,求证：PD=PE.【题型四】对顶角类型的全等三角形图形 1 图形 2 【例 9】如图 1，已知：AB=CD，AD=CB.求证：B=D.
10、【例 10】如图，两条直线 AC,BD 相交于 O，BO=DO,AO=CO，直线 EF 过点 O 且分别交 AB、CD 于点 E,F，求证：OE=OF10【题型五】旋转类型的全等三角形图形 1 图形 2 图形 3 图形 4 【例 10】已知：如图(1)，AB=AD，BC=DE，1=2.求证：(1)AC=AE； (2) CAE=CDE.【例 11】已知：如图(2)，E=F=90，B=C，AE=AF，给出下列结论：1=2；BE=CF；CANABM；CD=DN.其中正确的结论是_.【例 12】如图，已知 AB=AD， B=D，1=2，证明：BC=DEED CBANMFE DCBAEDCBA11【题型
11、六】大山型的全等三角形【例 14】已知：如图，ABCD,EDBD，AB=CD，BC=DE，求证：ACCE.同步练习：1. 如图所示，已知 ， E 是 AC 上一点. 求证： . CDBA, AEDB2. 已知：如图，AB=DC,AC=DB,BE=CE.求证：AE=DE.123.如图，在ABE 中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE 交于点 O. 求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .4.如图，已知： ， .EDAMECN求证：点 B 是线段 AC 的中点.5已知：如图，在 MPN 中， H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQ NQ求证： HN PM.136已知：如图， AE AB， BC AB， AE AB， ED AC 求证： ED AC学法提炼：1、三角形全等的证题思路（1）SAHL找 夹 角已 知 两 边 找 直 角找 另 一 边（2）AS边 为 角 的 对 边 找 任 意 一 角找 夹 角 的 另 一 边已 知 一 边 和 一 角 边 为 角 的 邻 边 找 夹 边 的 另 一 角找 边 的 对 角（3） AS找 夹 边已 知 两 角 找 任 意 一 边
