1、1专题 45 直线与方程【热点聚焦与扩展】高考对直线与方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识，熟练掌握两条直线的位置关系、点到直线的距离、平行直线间的距离等.其中两直线的平行与垂直的判断、两直线的平行与垂直的条件的应用，是高考的热点，另外，两直线的位置关系与向量的结合，也应予以足够的重视本专题通过例题说明关于直线问题的解法与技巧.（一）直线与方程：1、倾斜角：若直线 l与 x轴相交，则以 x轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 l重合所成
2、的角称为直线 l的倾斜角，通常用 , 表示（1）若直线与 轴平行（或重合） ，则倾斜角为 0（2）倾斜角的取值范围 0, 2、斜率：设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为 tank （1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4） k越大，直线越陡峭（5）斜率 的求法：已知直线上任意两点 12,AxyB，则 21ykx，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关.3、截距：若直线 l与坐标轴分别交于 ,0ab，则称 ,a分别为直线
3、 l的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可 0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为 0 的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率） ，另一种是已知两点（两点确定一条直线） ，直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：2 点斜式：已知直线 l的斜率 k，直线上一点 0,Pxy，则直线 l的方程为：00ykx证明：设直线 l上任意一点 ,Qxy，根据斜率计算公式可得： 0ykx，所以直线上的每一点都应满足： 00ykx，即为直线方程
4、斜截式：已知直线 l的斜率 k，纵截距 b，则直线 l的方程为： ykxb 证明：由纵截距为 b可得直线与 y轴交点为 0,，从而利用点斜式得： 0 化简可得： ykx （2）两点确定一条直线： 两点式：已知直线 l上的两点 12,AxyB，则直线 l的方程为：2211yx 截距式：若直线 l的横纵截距分别为 ,0ab，则直线 l的方程为： 1xyab证明：从已知截距可得：直线上两点 ，所以 0bk:01bxylyxyaa 一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由 ,的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为： ABC（ ,A不同时为 0） ，此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作
5、为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式： 截距不全的直线：水平线，竖直线 截距为 0 的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：3（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的
6、值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直） ，重合如果题目中提到“两条直线” ，则不存在重合的情况，如果只是 12,l，则要考虑重合的情况.2、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线 1122:,:lykxblykxb 212,kb 若直线 l的斜率存在，则 1212lk（2）一般式方程：设 1 2:0,:0lAxByClAxByC，则 当 122ABC时， 1l 2 11，且 21和 21中至少一个成立，则 1l 2（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线 1122:,:lykxblyk
7、xb，则 1212lk（2）一般式方程：设 00ABCABC，则：12120ABl4、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程 0AxByC对应的向量： ,aAB，即有：11112222:0,:0,lAxByCalxy ，从而 12,a的关系即可代表 2,的关系，例如：11212l（注意验证是否会出现重合的情况）2 2120ABaal4（三）距离问题：1、两点间距离公式：设 12,AxyB，则 2211ABxy2、点到直线距离公式：设 0:0PlxyC则点 P到直线 l的距离 02ldAB3、平行线间的距离： 112:,:0lxylxy则 12,l的距离为 2Cd（四）对称问题1、中
8、心对称：（1）几何特点：若 ,A关于 O点中心对称，则 为线段 A的中点（2）解析特征：设 0xy， ,ab，则与 点关于 O点中心对称的点 ,Axy满足：002xaybyb2、轴对称（1）几何特点：若若 ,A关于直线 l轴对称，则 l为线段 A的中垂线，即 Al，且 的中点在l上（2）解析特征：设 0,xy， :lkxb，则与 点关于 l轴对称的点 ,xy满足： 012Aykxkb，解出 ,Ay即可（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线 l，直线 1l关于 的对称直线为 1l 若 1l ，则 1l ，且 1l到对称轴的距离与 到对称轴的距离相等 若 与 相交于 P ，则取 上一点 A，求出关于
9、 l的对称点 A，则 P即为对称直线 1l5（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系参数不会影响斜率的取值（1）与直线 0AxByC平行的直线系方程为： 0AxBym（ 为参数，且 mC）（2）与直线 垂直的直线系方程为： （ 为参数）2、过定点的直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为 0 即可（2）已知 1122:,:0lAxByClAxByC（ 1l与 2不重合） ，则过 12,l交点
10、的直线系方程为：10l（该直线无法表示 ）3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程【经典例题】例 1.过点 2,Ma和 ,4N 的直线的斜率为 1，则实数 a的值为（ ）A1 B2 C1 或 4 D1 或 2【答案】A【解析】依题意有 ,a例 2.已知直线方程为 ,30sin3coyx则直线的倾斜角为（ ）A. 60 B. 60或 C. 3 D. 或【答案】C【解析】由直线方程为 ,30sin3coyx所以直线的斜率为 360sinco)si(c)6
11、i(coi k6因为直线倾斜角的范围 )180,所以倾斜角为 3故答案为 C.例 3. 坐标平面内有相异两点 2(cos,in),(01AB，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）A ,4 B 30,4 C 3,4 D 3,4【答案】 3【解析】22sin1coss1,ABk，且 0ABk.设直线的倾斜角为 ，当0时，则 0ta，所以倾斜角 的范围为 4.当 10ABk时，则1tan，所以倾斜角 的范围为 34.例 4. 直线 l过点 (4,1)P，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程.【答案】 yx或 30y.例 5. 已知直线 1 2:10,:0laxylxay，其中 aR，
12、则“ 3”是“ 12l”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线 12l的充要条件是 2030aaa 或 3 .故选 A.7例 6.【2018 届四川省南充高级中学高三 9 月检测】已知直线 1 2:10,:0laxylaxy.若 12/l，则实数 a的值是（ ）A. 0或 3 B. 或 1 C. 0 D. 3【答案】A【解析】 12/l，则 2a 即 0a 3a或 经检验都符合题意故选 A.例 7已知 (,4),1AB两点，直线 l过点 (,)C且与线段 AB相交，直线 l的斜率 k的取值范围是 .【答案】 xyl12
13、31234OABCDxy l1231234OABCD例 8. 设直线 l 的方程为 ()()0ayaR (1)若 在两坐标轴上截距相等，求 l的方程；(2)若 l不经过第二象限，求实数 的取值范围【答案】(1) 3xy020 或 .(2)(1 ， 【解析】 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零， a2 ，方程即为 3xy0 .当直线不经过原点时，截距存在且均不为 0， 21a ，即 a1. ， 方程即为 20 .综上， l的方程为 2 或 .(2)将 l的方程化为 y()xa2 ，8 102a或 102a, a1.综上可知 的取值范围是 ( ， 点睛：涉及直线在两坐标轴
14、上截距相等问题，要特别注意截距均为 0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.例 9.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线 与直线， 为它们的交点，点 为平面内一点.求（1）过点 且与 平行的直线方程；（2）过 点的直线，且 到它的距离为 2 的直线方程.【答案】 （1） （2） 或【解析】试题分析：(1)先求 ，写出直线点斜式方程，整理得解(2)先求两条直线的交点，设出直线方（2） ，当斜率不存在，则方程为 ，不合题意当斜率存在，设方程 ,而 , ,9 ,， 或 ，方程为 或 .例 10. 已知直线 1:30lxy，直线
15、10lxy： ，若直线 1l关于直线 l的对称直线为 2l，求直线2l的方程【答案】 5xy.【解析】直线 12,l关于直线 l对称，所以 与 与 间的距离相等由两平行直线间的距离公式得 312m，解得 5m或 （舍去） ，所以直线 2l的方程为 50xy.法二：由题意知 12/l，设直线 2:03,1lxym，在直线 1l上取点 ,3M，设点 关于直线 l的对称点为 ,ab，10于是有31002ba，解得 41ab，即 ,1M把点 4,1M代入 2l的方程，得 5m，所以直线 2l的方程为 0xy【精选精练】1.【2018 届云南省师范大学附属中学高三月考卷（二） 】已知直线的倾斜角为 ，直
16、线 经过 ，两点，且直线与 垂直，则实数 的值为（ ）A. -2 B. -3 C. -4 D. -52.已知直线 1:20lxy与直线 2:0lmxy平行，则实数 m的值为 ( )A. 2 B C. D. 【答案】A【解析】由题意， 12m，即 ,选 A.3.平行于直线 0yx且与圆 52yx相切的直线的方程是（ ）A 52或 0 B. 05yx或 052yx C. yx或 2yx D. 2或【答案】 D4.已知直线:10,xylab在两坐标轴上的截距之和为 4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的11面积的最大值是 （ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 2【答案】D【解析】直线 :10,xy
17、lab在两坐标轴上的截距之和为 4，所以 4ab，即4242ab，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 2 .5若直线 20xy与以 3 1A， ， 2B， 为端点的线段没有公共点，则实数 a的取值范围是（ ）A 1， B ， ， C. 2， D 1 2， ，【答案】D【解析】直线 20xay过定点 0C， ,所以1(,)(2,1(,)(,)2CBAkaa，选 D.6.直线 :1lm经过点 21P，则倾斜角与直线 l的倾斜角互为补角的一条直线方程是（ ）A xy B 3xy C 30 D 40【答案】C【解析】将点 2,1P代入得 21,m，直线方程为 10xy，斜率为 1，倾斜角为
18、 4.故和其垂直的直线斜率为 ，故选 C.7.点 (,0)A， (,4)B， (5,8)C，若线段 AB和 CD有相同的垂直平分线，则点 D的坐标是（ ）（A） 67 （B） (7,6)（C） (5,) （D） 45【答案】A128. 如图所示，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是( )A2 10 B6 C3 D2 5【答案】A【解析】由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线所经过的路程为|CD|2 10故
19、选 A9.若直线 l： 1(0,)xyab经过点 1,2，则直线 l在 x轴和 y轴的截距之和的最小值是 【答案】 3213【解析】由题意得 ，截距之和为2332ab，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 的最小值为 10.已知两直线 1:80lmxyn和 210lxmy： 试确定 ,n的值，使（1） l与 2相交于点 (,)P；（2） ；（3） 1l2，且 1l在 y轴上的截距为1【答案】 （1） m， 7n；（2） 4m， 2n或 4， 2n；（3） 0m， 8n.【解析】试题分析：（1）将点 1,p代入两直线方程，解出 和 的值；（2）由 1l 2得斜率相等，求出 m值，再把直线可能重合的情
20、况排除；（3）先检验斜率不存在的情况，当斜率存在时，看斜率之积是否等于 1， 42mn或即 ， 时或 4， 2n时， 21/l（3）当且仅当 08，即 m时， 又 18n， 814即 0m， 8n时， 21l，且 1在 y轴上的截距为 111.【2018 届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知直线 1l的方程为 34120xy，求 2l的方程，使得：（1） 2l与 1平行，且过点 1,3；（2） 与 垂直，且 2l与两坐标轴围成的三角形面积为 4.【答案】 （1） 3490xy（2） 463y【解析】试题分析：（1）由 2l与 1平行可设 2:0lxym，再代点 1,3得 9m.（2）
21、由 2l与1l垂直可设 2:430lxyn，再得与坐标轴的交点，根据面积公式得 4AOBnS，最后解方程得n试题解析：解：（1）设 2:4lxym， 2l过点 ,3， 9m. 2l方程为 490xy.15 46n. 2l方程为 30xy或 4360xy.y12已知 |m1，直线 12:,:1lymxly， 2l与 相交于点 P， 1l交 y 轴于点 A， 2l交 x 轴于点 B（1）证明： 12l；（2）用 m 表示四边形 OAPB 的面积 S，并求出 S 的最大值；（3）设 S= f (m), 求 1U的单调区间.【答案】 （1）见解析；（2）1；（3）在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数.【解析】 （1）证明：可把两条直线化为 12:0,:10lmxylxmy（3） 2211USm, 又 1(,(,12SU且 在 是单调递减的函数,而 2在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，S在（1，0）上为减函数，在（0，1）上为增函数
