1、天津市南开中学 2018 届高三第一次月考数学试卷（理科）1、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1. 已知全集 ,4321,0U，集合 5,321A， 4,2B则 BACU)(为（ ）.A. 4, B. C. 0 D. 4,30，2. 设 Rx，则 ”“x是 2x的（ ）条件.A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设 2loga， 21lb， 2c，则（ ）.A. c B.a C. bca D. abc4. 在下列区间中 34)(xef的零点所在区间为（ ）.A. 0,41 B. 1， C. 21， D. 4321，5. 设函数 )ln()l()xxf,则 (
2、f是（ ）.A.奇函数，且在 10， 上是增函数B.奇函数，且在 ， 上是减函数C.偶函数，且在 ， 上是增函数D.偶函数，且在 10， 上是减函数6. 已知函数 xf2ln)(，若 2)4(f,则实数 x的取值范围是（ ）.A. 2, B. )5, C. 5 D. )2,5()(，7. 若 3(log1axy在 ,1上单调递减，则 a的取值范围是（ ）.A. )6, B. )0,( C. 6,8( D.6,88.已知 (xf为偶函数，当 x时， )0(12)mxf ，若函数 )(xf恰有 4 个零点，则m的取值范围是（ ）.A. )3,1( B. )1,0( C. ,( D.，32、填空题（
3、每小题 5 分，共 30 分）9. 已知复数 iz1，则 2z .10. 不等式 )(52x的解集是 .11. 已知曲线 xyln34的一条切线的斜率为 21，则切点的横坐标为 .12. 函数 2x与函数 的图象所谓封闭图形的面积是 .13. 函数 3()1f=-在区间 ,-的最小值是 .14. 若函数 axx)2(在区间 1,3上不是单调函数，则实数 a的取值范围是 .3、解答题（共 80 分）15. 在锐角 ABC中， cba、 分别为角 CBA、 所对应的边，且 Acasin23（1）确定角 的大小；（2）若 7c，且 的面积为 23，求 ba的值.16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有
4、一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5234， ，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为 X,求随机变量 的分布列与数学期望.17. 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人数分别为 3,3,4.现从这10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会.（1）设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”求事件 A发生的概率.（2）设 X为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件 X发生的概率.18
5、. 如图，在三棱柱 1CBA中， 1底面 BC, AC111AB, 31C, 60ABC.（1）证明 ;（2）求异面直线 1和 所成角的余弦值;（3）求二面角 BCA的平面角的余弦值.19. 已知 x是函数 xaxf 10)ln()(2的一个极值点.（1）求 a；（2）求函数 )(f的单调区间；（3）若直线 by与函数 )(xfy的图象有 3个交点，求 b的取值范围.20. 设函数 .21ln)(baxf（1）当 ,3ba时，求函数 )(xf的单调区间；（2）令 ),30)(2xfF其图象上任意一点 ),(0yxP处切线的斜率 81k恒成立，求实数 的取值范围；（3）当 0ba时，令 ,)(,
6、1)(mxGxfH若 )(H与 G的图象有两个交点 ),(1yxA,),(2yxB,求证： .21ex参考答案 1-4 CACC 5-8 ADCB9. i1 10. 3,1()2 11. 2 12. 34 13. 16 14. )2,(15.解：（1）根据正弦定理，由 sinacA=有 si2insCA=，于是 3sin=，由于是锐角三角形，故 3Cp=（2） ()22cos3cabab+-+-， ()2 36in27375ssiC=A，故 ab+。16.解（1）记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 ()1,3i，则 (145PA=， ()235，()325PA=， 该选手被淘汰的概率
7、： ()()1121234205512PAPA+=+（2） X的可能值为 1,2,3()5P=， 485=， X随机变量 的分布列为X1 2 3585125随机变量 X的数学期望 ()11273EX=+=17.解：（1）由已知，得23410CPA，所以事件 A发生的概率为 13（2）随机变量 的所有可能取值为 0, 1,2 ()223410+5CPX=， ()11342075CX+=， ()134205CPX=所以随机变量 的分布列为0 1 2P415715415随机变量 X的数学期望 ()402EX=+=18.解（1）在三棱柱 1ABC-中， 1ABC， 1AB在 A中， ， 3， 60，由
8、正弦定理得 30=， 90B=，即 。且 1， 为平面 1内两条相交直线， 1C，又 1AC， 1ABC（2）如图，建立空间直角坐标系，则 ()0,，(,0)B， (,30)， 1(,3)， 13， ()10,3 ()1,03AB=， ()1,3BC=-， 11 7cos,ABC=，即异面直线 1AB和1C所成角的余弦值为 7（3）可取 ()1,0mAB=为平面 1AC的法向量，设平面 1ABC的法向量为 (),nxyz=，则1nC，又 ,3-， 1(0,3)=-， 30xyz-+，不妨取 1，则(3,)=，因此有 5cos,mn二面角 1AB-的平面角的余弦值为 15AC11Bzxy19.解
9、：（1）因为 ()210afxx=+-，所以 ()36104af=+-，因此 16a=当 6a=时， ()216xxf，由此可知，当 (),3x时， fx单调递减，当 3,+时， f单调递增，所以当 16a=时，3x是函数 2ln10fa+-的一个极值点。于是 16a=（2）由（I）知， ()26l()1fxx=， (),x-， ()(231xf-+当 (1,3,x-+时， 0f当 )时， fx所以 fx的单调增区间是 ()1,3,-+， ()fx的单调减区间是 ()1,3（3） by与 )xf的图象有 个实数根；即 0b有 3 个实数根；此时，函数 bxf)(的图象与 x轴有 个不同交点，令
10、 ,10)ln(16)(2xf 则 )(302 xx令 ,)(解得 或 ,)x随 的变化情况列表如下：x)1,()31( ),3()(00x极大值 极小值 )1(为极大值， )3(为极小值.为使 xy图象与 轴有 个不同交点，必须 )(xy的极大值等于零，极小值小于零，即,0)3(可化为 ,021ln396b解得 ,21ln396 .21lnb20. 解：（1） ,l)(2xxf定义域为 ),(，xxf 13)13)( ，令 ,0)(xf解得 31x，令 ,0)(xf解得 31， 的单增区间为 ),(单减区间为 ).（2） ,ln)( 2xaxFax ,30(,8120k即 ,80令 6)48
11、)(20 xxg， )(0xg在 3,上单调递增， ,1593 a， .815（3） )(ln)(mxGxH定义域 ),( 11l， 22l+得 ),(ln212121 xxx即 )(ln2121xmx，-得 2121l-(),m+-=-即 )(l 12212， 由得 12212121 ln)(lnxx，不妨设 210x，记 12t，令 ),(l)(ttF ,)(2tF t在 ),1上单调递增， ,01 ,(2lnt即 ,)(2ln1x ,2ln)(2ln12111 xx ,4l4l4l)(l 2121212121212121x ,4ln21即 ,ln21x令 ,l)(x ,0)(2x )(在 ),上单调递增.又 ,1ln2lnee ,2)ln(1ln221 ex即 ),2()(21ex .21ex
