1、1基本不等式1对 xR 且 x0 都成立的不等式是(D)A x 2 B x 21x 1xC. D| x |2|x|x2 1 12 1x因为 xR 且 x0，所以当 x0时， x 2；当 x0，所以1xx ( x )2，所以 A，B 都错误；又因为 x212| x|，所以 ，所1x 1 x |x|x2 1 12以 C错误，故选 D.2小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a和 b(a1，即 va.va 2ba b3若实数 a， b满足 ，则 ab的最小值为(C)1a 2b abA. B22C2 D42由 知 a0， b0，1a 2b ab所以 2 ，即 ab2 ，ab1a 2b 2ab 2当且仅当E
2、rror!即 a ， b 2 时取“” ，42 42所以 ab的最小值为 2 .24已知 x0， y0， x2 y2 xy8，则 x2 y的最小值是(B)A3 B4C. D.92 112利用基本不等式，2x2 y8 x(2y)8( )2，x 2y2整理，得( x2 y)24( x2 y)320，即( x2 y4)( x2 y8)0，又 x2 y0，所以 x2 y4.当且仅当 x2， y1 时取等号5(2018天津卷)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值为 .18b 14因为 a3 b60，所以 a3 b6.所以 2a 2 a2 3 b218b 2a2 3b2 2 22 3 .
3、2a 3b 2 614当且仅当 2a2 3 b，即 a3 b时，取“” ，即 2a 取得最小值 ，结合18b 14a3 b60，知此时 a3， b1.6如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x为 20 (m)设矩形的高为 y(m)，面积为 S(m2)，由三角形相似得 ，即 x y40.x40 40 y40所以 S xy( )2400，x y2当且仅当 x y20 时等号成立7已知 x0， y0，且 4x y1.(1)求 的最小值；1x 1y(2)求 log2xlog 2y的最大值(1)因为 ( )(4x y) 52 59.1x 1y 1x 1y yx
4、 4xy yx4xy当且仅当 ，即 x ， y 时，取“” yx 4xy 16 133所以 的最小值为 9.1x 1y(2)log2xlog 2ylog 2(xy)log 2( 4xy)14log 2 ( )2log 2 4，144x y2 116当且仅当 4x y，即 x ， y 时取“” 18 12所以 log2xlog 2y的最大值为4.8在 R上定义运算 ： x y x(1 y)若对任意 x2，不等式( x a) x a2 都成立，则实数 a的取值范围是(C)A1,7 B(，3C(，7 D(，17，)由题意可知，不等式( x a) x a2 可化为( x a)(1 x) a2，即x x
5、2 a ax a2，所以 a 对 x2都成立，即 a( )min.x2 x 2x 2 x2 x 2x 2由于 ( x2) 32 37( x2)，x2 x 2x 2 4x 2 x 2 4x 2当且仅当 x2 ，即 x4 时，等号成立，所以 a7.4x 29(2018湖南长郡中学联考)已知向量 a， b满足：| a| b|1 且 ab ，若12c xa yb，其中 x0， y0且 x y2，则| c|的最小值是 .3因为 |a| |b| 1， ab ，12所以 |c|2 x2 y22 xyab x2 y2 xy( x y)2 xy4 xy4( )23.x y2当且仅当 x y1 时，取“” 所以
6、|c| .310某单位决定投资 32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 400元，两侧墙砌砖，每米长造价 450元，顶部每平方米造价 200元，求：4(1)仓库面积 S的最大允许值是多少？(2)为使 S达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为 x米，两侧砖墙长为 y米，且 x， y0.顶部面积 S xy，依题意得，400 x900 y200 xy32000，由基本不等式得32000400 x900 y200 xy2 200 xy400x900y1200 200 xy，xy即 320001200 200 S，即 S6 1600，S S令 t (t0)，得 t26 t1600，S即( t10)( t16)0，所以 0t10，即 0 10，所以 0S100.S所以 S的最大允许值为 100平方米(2)由(1) S100，当且仅当 400x900 y，且 xy100 时等号成立，解得 x15.所以正面铁栅应设计为 15米长
