1、18.6 双曲线课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标1(2017 届合肥质检)若双曲线 C1： 1 与 C2： 1( a0， b0)的渐近线x22 y28 x2a2 y2b2相同，且双曲线 C2的焦距为 4 ，则 b( )5A2 B4C6 D8解析：由题意得 2 b2 a， C2的焦距 2c4 c 2 b4，故选 B.ba 5 a2 b2 5答案：B2若双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y2 x B y x2C y x D y x12 22解析：由条件 e ，得 1 3，所以 ，所以双曲线的渐近ca 3 c2a2 a2 b2a2 b2a
2、2 ba 2线方程为 y x.故选 B.2答案：B3已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦点为 F1， F2，且 C上点 P满x2a2 y2b2足 0，| |3，| |4，则双曲线 C的离心率为( )PF1 PF2 PF1 PF2 A. B102 5C. D552解析：依题意得，2 a| PF2| PF1|1，| F1F2| 5，因此该双曲|PF2|2 |PF1|2线的离心率 e 5.|F1F2|PF2| |PF1|答案：D4(2017 届长春质检)过双曲线 x2 1 的右支上一点 P，分别向圆 C1：( x4)y2152 y24 和圆 C2：( x4) 2 y21 作切线，切点分别为 M
3、， N，则| PM|2| PN|2的最小值为( )A10 B13C16 D192解析：由题可知，| PM|2| PN|2(| PC1|24)(| PC2|21)| PC1|2| PC2|23(| PC1| PC2|)(|PC1| PC2|)32(| PC1| PC2|)32| C1C2|313.答案：B5(2018 届河南六市第一次联考)已知点 F1， F2分别是双曲线C： 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l与双曲线 C的左、右两支分别交于x2a2 y2b2A， B两点，若| AB| BF2| AF2|345，则双曲线的离心率为( )A2 B4C. D13 15解析：由题意，
4、设| AB|3 k，| BF2|4 k，| AF2|5 k，则 BF1 BF2.| AF1| AF2|2 a5 k2 a，| BF1| BF2|5 k2 a3 k4 k4 k2 a2 a， a k，| BF1|6 a，| BF2|4 a.又| BF1|2| BF2|2| F1F2|2，即 13a2 c2， e .ca 13答案：C6(2018 届合肥市第二次质量检测)双曲线 M： x2 1 的左、右焦点分别为y2b2F1、 F2，记| F1F2|2 c，以坐标原点 O为圆心， c为半径的圆与曲线 M在第一象限的交点为P，若| PF1| c2，则点 P的横坐标为( )A. B3 12 3 22C
5、. D3 32 332解析：由点 P在双曲线的第一象限可得| PF1| PF2|2，则| PF2| PF1|2 c，又|OP| c， F1PF290，由勾股定理可得( c2) 2 c2(2 c)2，解得 c1 .易知3POF2为等边三角形，则 xP ，选项 A正确c2 3 12答案：A7(2018 届湖南十校联考)设双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线与直线 xx2a2 y2b2分别交于 A， B两点， F为该双曲线的右焦点若 60|PB|.因为点 P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，| PA| PB|2 ，5又| PA|2| PB|236，联立化简得 2|PA|PB|16，所以(
6、| PA| PB|)2| PA|2| PB|22| PA|PB|52，所以| PA| PB|2 .13答案：2 139(2017 年全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右顶点为 A，以 A为圆x2a2 y2b2心， b为半径作圆 A，圆 A与双曲线 C的一条渐近线交于 M， N两点若 MAN60，则 C的离心率为_解析：| AM| AN| b， MAN60， MAN是等边三角形，在 MAN中， MN上的高 h b.32点 A(a,0)到渐近线 bx ay0 的距离 d ，aba2 b2 abc b，abc 32 e .ca 23 233答案：23310已知双曲线 1( a0， b0
7、)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且| PF1|4| PF2|，则双曲线的离心率 e的最大值为_解析：由双曲线定义知| PF1| PF2|2 a，4又| PF1|4| PF2|，所以| PF1| a，| PF2| a，83 23在 PF1F2中，由余弦定理得 cos F1PF2 e2，要求 e的最大649a2 49a2 4c2283a23a 178 98值，即求 cos F1PF2的最小值，当 F1、 P、 F2三点共线时，即 F1PF2 时，cos F1PF2有最小值为1，cos F1PF2 e21，解得 10， b0)的左、右顶点，| AB|4
8、，焦点到渐x2a2 y2b2 3近线的距离为 .3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线 y x2 与双曲线的右支交于 M， N两点，且在双曲线的右支上存在点33D，使 t ，求 t的值及点 D的坐标OM ON OD 解：(1)由题意知 a2 ，3一条渐近线为 y x，即 bx ay0.ba由焦点到渐近线的距离为 ，得 .3|bc|b2 a2 3又 c2 a2 b2， b23，双曲线的方程为 1.x212 y23(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)，则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0.将直线方程 y x2 代入双曲线方程 1 得 x216 x840，
9、33 x212 y23 3则 x1 x216 ， y1 y2 (x1 x2)412.333Error! 解得Error! t4，点 D的坐标为(4 ，3)3512已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C经过 A(7，5)， B(1，1)两点(1)求双曲线 C的方程；(2)设直线 l： y x m交双曲线 C于 M， N两点，且线段 MN被圆E： x2 y212 x n0( nR)三等分，求实数 m， n的值解：(1)设双曲线 C的方程是 x 2 y 21( 0.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN的中点 P(x0， y0)，则 x1 x24 m，所以 x0 2 m， y0 x
10、0 m m，x1 x22所以 P(2 m， m)又圆心 E(6,0)，依题意 kPE1，故 1，即 m2.m6 2m将 m2 代入得 x28 x70，解得 x11， x27，所以| MN| |x1 x2|6 .1 12 2故直线 l截圆 E所得弦长为 |MN|2 .13 2又 E(6,0)到直线 l的距离 d2 ，2所以圆 E的半径 R ， 22 2 2 2 10所以圆 E的方程是 x2 y212 x260.所以 m2， n26.能 力 提 升1已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，点( ，0)是双曲线的一个顶x2a2 y2b2 3 3点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦
11、点 F2作倾斜角为 30的直线，直线与双曲线交于不同的两点6A， B，求| AB|.解：(1)双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，点( ，0)是双曲线的一个x2a2 y2b2 3 3顶点，Error!解得 c3， b ，6双曲线的方程为 1.x23 y26(2)双曲线 1 的右焦点为 F2(3,0)，x23 y26经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30的直线的方程为y (x3)33联立Error! 得 5x26 x270.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .65 275所以| AB| .1 13 ( 65)2 4( 275) 16352已知
12、椭圆 C1的方程为 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，x24而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O为坐标原点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l： y kx 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A和 B，且 2，求 k2 OA OB 的取值范围解：(1)设双曲线 C2的方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2则 a2413， c24，再由 a2 b2 c2，得 b21，故双曲线 C2的方程为 y21.x23(2)将 y kx 代入 y21，2x23得(13 k2)x26 kx90.2由直线 l与双曲线 C2交于不同的两点，得Error! k22，OA OB 即 x1x2 y1y22， 2，3k2 73k2 1即 0， 3k2 93k2 1解得 k23.13由得 k21，13故 k的取值范围为 .( 1， 33) (33， 1)
