1、1第 1-2 节 导数的概念及运算一、学习目标：1. 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等） ；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2. 熟记常函数 C，幂函数 xn（n 为有理数） ，三角函数 sinx，cosx，指数函数 ex，a x，对数函数 lnx，log ax 的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3. 掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。二、重点、难点重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数。难点：导数的概念、复合函数的导数。三、考点分析：1. 导数既是研究函数性态的有
2、力工具，又是进行理性思维训练的良好素材。导数的概念与几何意义，及导数的运算是每年高考的重点考查内容之一。2. 考纲要求：理解导数概念及其几何意义，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数。1. 导数的概念：设函数 )(xfy在 0处附近有定义，当自变量在 0x处有增量x时，函数 ()yfx相应地有增量 )(0xff，如果当 时，趋于常数 A，称函数 )(f在点 0处可导，并把 A 叫做 在 0处的导数，记作)(0f或 0x2. 导数的几何意义函数 )(fy在点 0处的导数的几何意义是曲线 )(xfy在点 )(,0xfP处的切线的斜率，也就是说，曲线 )(xf
3、y在点 (,0fP处的切线的斜率是 。相应地，切线方程为 0。3. 导数的运算：（1）基本函数的导数公式： ()C； 1()mx； (sin)cosx；(cos)inx； 1lx； loglaae； x； lnxa。（2）导数的运算法则：设 )(vu、 均可导，则()v； uv；C（ C 为常数） ； )0(2v2（3）复合函数的导数：设 )()(xufy、 均可导，则复合函数 )(xfy可导，且 ).(xufyxux知识点一：导数的概念例 1 已知函数 ()fx在 = 0附近有意义且可导，导函数为 ()fx，若 0()f=2，则00(2)3fxkf趋于（ ）A. 2 B. C. 23 D.
4、4思路分析：本题是导数概念题，注意自变量的增量为 2k。解题过程：原式= 00()(43fxkfxk时 ，故选 D。解题后反思：对导数概念问题，注意要准确地从函数增量的式子中找出自变量的增量，紧扣函数在某一点的导数的概念：函数增量与自变量增量的比的极限值就是这一点的导数解题，本题中自变量的增量为 2k。知识点二：导数的几何意义例 2 曲线 y= 1x在点（1，1）处的切线方程为（ ）A. 0x B. 2y=0 C. 45xy=0 D. 45xy=0思路分析：先求函数在这一点的导数即切线斜率，再由点斜式写出直线方程。解题过程： y= 2(1)x= 2()，曲线在点（1，1）处的切线斜率 k= 1
5、|xy= ，曲线在点（1，1）处的切线方程为 (),即 20xy，故选 B。解题后反思：对曲线的切线问题，注意利用导数的几何意义解题，注意过某一点的切线与在某一点的切线的区别。例 3 求函数 y= 24x过点 P（1, 1）的切线方程。思路分析：先设出切点坐标，求出切线方程，再利用切点既在曲线上又在切线上，列出切点坐标的方程，求出切点坐标，从而求出切线方程。解题过程：设切点 Q（ 0, y）,求导得 y= 2x，由导数的几何意义得曲线在点 Q（0x, y）处的切线斜率 k= |x= 0，曲线在点（1,）处的切线方程为： 1= 0()，又点 Q（ 0x, y）既在切线上，又在函数图像上， 201
6、(1)4，解得， 03y或 05xy，切线方程为 3xy=0 或 65x=0。解题后反思：注意过某点的切线与在某点的切线的区别,要掌握过某点的曲线的切线方3程求法。知识点三：导数的实际意义例 4 设球的半径为时间 t 的函数 Rt，若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速度与球的半径A. 成正比，比例系数为 c B. 成正比，比例系数为 2c C. 成反比，比例系数为 c D. 成反比，比例系数为 2c 思路分析：求出球的表面积的导数，观察其与球的半径的关系。解题过程：由题意可知球的体积为 ()Vt= 34()Rt，则 = ()Vt= 4()Rt，由此可得 ()cRt=4()t，而
7、球的表面积为 S= 2， v表 = S= 2= 8()t= 4()t= ()()ctt= 2c，故选 D；解题后反思：注意利用题中条件，球的体积以均匀速度 c 增长即球的体积函数的导数为常数。知识点四：导数的运算例 5 求下列函数的导数： 21() )cosxy； (2)123yxx；3inab； 24lnxe。思路分析：解答本题的突破口是要分析函数解析式的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数。解题过程：（1）222(1)cos(1)cosxxyx 22222(1)()s(1)cos1coin()sisxxx ；（2） 232361yxx。 1；（3）令 au， sinv，
8、 b， 3222sicosyauauvsicoxbx；4（4） )1ln(l212xxey， )(2xxxe2221.xxxee解题后反思：（1）本题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法和代数式等价化简的运算能力。（2）对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误。对复合函数求导，必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系，再按照复合函数求导法则进行求导。（3）对复杂函数进行求导
9、时，函数的解析式能化简的要尽量化简，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导前，先用代数、三角恒等变形对函数解析式进行化简，然后再用函数的四则运算法则的求导公式求导数。例 6 （1）若曲线 3()lnfxax存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是_。（2）已知函数 在 R 上满足 ()f= 2)8fx，则曲线 ()yfx在点 (,)f处的切线方程是_。思路分析：（1）本题是函数存在斜率为 0 的切线问题，先求导，转化为导数为 0 恒有解的问题，通过参变分离求出参数范围。（2）先求 ()f，因 (2)fx是复合函数，故根据复合函数的导数法则等式两边求导，再将 x=1 代入，即可求出 1
10、，代入点斜式即可求得切线方程。解题过程：（1）由题知函数 ()fx的定义域为 0x，求导得 xaxf13)(2，又因为存在垂直于 y轴的切线，所以 23ax=0 恒有解，即 a= 31（ ）恒有解， 0，实数 的取值范围是（ ，0） 。（2）令 =1 得， (1)f= 2)8，即 (1)f=2，解得 (1)f=1，对 ()fx= 28fx两边同求导得， fx= 8x，将 =1 代入上式得， = (1f，即 = ()6f，解得1=2， ()yf在点 1,()f处的切线方程为 y=2(1)，即 10y。解题后反思：对含参数函数的导数问题，应注意函数的定义域。（全国高考）曲线21xye在点（0,2）
11、处的切线与直线 0y和 x围成的三角形的面积为（ ）5A. 13B. 12C. 2D. 1思路分析：利用导数求出点（0，2）处的切线方程，然后分别求出与直线 y0 与yx 的交点问题即可解决。解答过程： 20,|xyey切线方程是： 2yx,在直角坐标系中作出示意图，即得 13S。解题后反思：函数 f在点 0,x处的切线方程是000yfxfx。1. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决新问题时，触类旁通，得心应手。2熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。3. 对于一个复合函数，一定要理清其中的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。下节课我们将学习导数的应用，那么导数的应用是指它在哪些方面的应用呢？请同学们阅读课本，并且进行思考。
