1、14.4 生活中的优化问题举例一、基础达标1方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为( )A4 B6 C4.5 D8答案 A解析 设底面边长为 x，高为 h，则 V(x) x2h256， h ，256x2 S(x) x24 xh x24 x x2 ，256x2 4256x S( x)2 x .4256x2令 S( x)0，解得 x8， h 4.256822某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k0)已知贷款的利率为 0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为 x， x(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则 x
2、的取值为( )A0.016 2 B0.032 4 C0.024 3 D0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是 kx2，银行支付的利息是 kx3，获得的贷款利息是 0.048 6kx2，其中 x(0,0.048 6)所以银行的收益是 y0.048 6 kx2 kx3(00；当 0.032 40，l6 r 是其唯一的极值点l6当 r 时， V取得最大值，最大值为 3.l6 (l6)4用边长为 120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A120 000 cm 3 B128 000 cm 3C150 000
3、 cm 3 D158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为 x cm，则水箱高 h60 (cm)x2水箱容积 V V(x) x2h60 x2 (00.512x求导数，得 S( x)2 .512x2令 S( x)2 0，解得 x16( x16 舍去)512x2于是宽为 8.当 x(0,16)时， S( x)0.因此， x16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点所以，当版心高为 16 dm，宽为 8 dm时，能使四周空白面积最小二、能力提升8把长为 12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A. cm2 B4 cm 2 C3 cm2
4、 D2 cm2323 2 3答案 D解析 设一个正三角形的边长为 xcm，则另一个正三角形的边长为(4 x)cm，则这两个正三角形的面积之和为 S x2 (4 x)2 (x2) 242 (cm2)，故选 D.34 34 32 39某公司生产一种产品， 固定成本为 20 000元，每生产一单位的产品，成本增加 100元，若总收入 R与年产量 x的关系是 R(x)Error!则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )4A150 B200 C250 D300答案 D解析 由题意得，总利润P(x)Error!令 P( x)0，得 x300，故选 D.10. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为
5、 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体的长为 a米，高为 b米已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b的乘积 ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当 a_， b_时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A， B孔的面积忽略不计)答案 6 3解析 设 y为流出的水中杂质的质量分数，则 y ，其中 k(k0)为比例系数依题kab意，即所求的 a， b值使 y值最小，根据题设，4 b2 ab2 a60( a0， b0)得 b.于是 y .(00， f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x64 处取得最小值此时 n 1 19.mx 64
6、064故需新建 9个桥墩才能使 y最小12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为 20 km/h时，每小时消耗的煤价值 40元，其他费用每小时需 200元，火车的最高速度为 100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设速度为 x km/h，甲、乙两城距离为 a km.则总费用 f(x)( kx3200) a(kx2 )ax 200x由已知条件，得 40 k203， k ，1200 f(x) a (0 x100)(1200x2 200x)令 f( x) 0，a x3 20 000100x2得 x10 .320当 00.320当 x10 时
7、， f(x)有最小值，320即速度为 10 km/h时，总费用最少320三、探究与创新13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且 l2 r.假803设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y千元(1)写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域；6(2)求该容器的建造费用最小时的 r.解 (1)设容器的容积为 V，由题意知 V r2l r3，43又 V ，803故 l .由于 l2 r，因此 03，所以 c20.当 r3 0 时， r .令 m，则 m0，20c 2 320c 2 320c 2所以 y (r m)(r2 rm m2)8 c 2r2当 0 时，令 y0，得 r m.92当 r(0， m)时， y0，所以 r m是函数 y的极小值点，也是最小值点当 m2，即 3 时，建造费用最小时92 92r .3 20c 2
